2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。

求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？解：221~(0,1)..........()A a A N f a -=(离散型随机变量分布律)2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组成，出现的概率为1131,,,8484。

图2.23 习题2-2在1t 和2t求 1212[()],[E X t E X ()()(){}121212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑2－23 [][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。

求,,？()()()()22cos 022~,322cos 022~,cos 0()2122,cos 2cos cos cos c 21322,(;)cos o 2s 2X k t k t tX t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XHk t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t ππππππππππππππππππδ-+<<+>+<<+<=+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示(),20H t k x XH else ππ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪⎩2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。

①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()X t 的一维概率密度(;)X f x t第②问方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量12X A Bt X A=+⎧⎨=⎩（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）②求反函数③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式12X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做（特征函数和概率密度一一对应）,A B()()()()()()()()()()()()()()()()()(),;;;;;ju juX t ju A Bt ju a btX AB ju a b A B xX X ju A B j A B uxX t B X x A f a f b Q u t E eE e e f a b dadbedadbx Q u t e d dbedxf bt f Q u b f x t t f x t e dxf x bt f b d f x b f b x x bt b d ++∞+∞++-∞-∞+∞+∞+-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-∞+∞+-∞∞∞∞-⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦====--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰取a=-bt2-5 已知()X t 为平稳过程，随机变量0()Y X t =。

判断随机过程()()Z t X t Y =+的平稳性？ 随机过程()()Z t X t Y =+非平稳2-6 已知随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Φ，其中随机过程()X t 宽平稳，表示幅度；角频率0ω为常数；随机相位Φ服从(,)ππ-的均匀分布，且与过程()X t 相互独立。

①求随机过程()Y t 的期望和自相关函数？②判断随机过程()Y t 是否宽平稳？ ①Φ与过程()X t 相互独立2-8 已知平稳过程()X t 的自相关函数为 ()4cos cos3X R eττπτπτ-=+，求过程的均方值和方差？()X t2-10 已知过程()cos sin X t A t B t=-和()cos sin Y t B t A t =+，其中随机变量,A B 独立，均值都为0，方差都为5。

①证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？① []()[]2()0,5cos ()5X E X t R t t E X t X t ττ⎡⎤=+==<∞⎣⎦⇒平稳2-11 已知过程()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳，且()()()Z t X t Y t =+。

①求()Z t 的自相关函数()Z R τ？②若()X t 和()Y t 独立，求()Z R τ？③若()X t 和()Y t 独立且均值均为0，求()Z R τ 第①问两个联合平稳的过程的互相关函数 第②问 两平稳过程独立第③问 ()X t 和()Y t 独立且均值均为02-12 已知两个相互独立的平稳过程()X t 和()Y t 的自相关函数为令随机过程，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。

求过程()Z t 的均值、方差和()()()Z t AX t Y t 自相关函数？随机变量A ，与()X t 和()Y t 相互独立可以证明过程()Z t 平稳2-14 已知复随机过程式中(1,,)i A i n =为n 个实随机变量，(1,,)i i n ω=为n个实数。

求当i A 满足什么条件时，()Z t 复平稳？复过程()Z t 复平稳条件()()()+j ,Z zZ Z m t m m m R t t R ττ=⎧⎪⎨+=⎪⎩X Y 复常数， ①()()[]()11exp exp z i i i i i i m t E A j t j A t E ωω∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑ ②2-16 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。

证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的自相关函数分别为若()X t 为宽平稳（实）过程，则'()X t 也是宽平稳（实）过程，且()X t 与'()X t 联合宽平稳。

2-17 已知随机过程()X t 的数学期望2[()]4E X t t =+，求随机过程2()()Y t tX t t '=+的期望？2-18 已知平稳过程()X t 的自相关函数21()2exp 2X R ττ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

求：①其导数()()Y t X t '=的自相关函数和方差？②()X t 和()Y t 的方差比？ 不含周期分量补充题：若某个噪声电压()X t 是一个各态历经过程，它的一个样本函数为()2cos 4X t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求该噪声的直流分量、交流平均功率解：直流分量()E X t ⎡⎤⎣⎦、交流平均功率()D X t ⎡⎤⎣⎦各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均 再利用平稳过程自相关函数的性质 方法二：()()()222222()()()2cos ()011()limli 24m 22TTT T T T X t X t D X t E X t E X t X t X t dt dt TX t Tt π--→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎡⎤=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎡⎤==⎢⎥⎣⎭⎦⎝⎰⎰=01()()tY t X d tλλ=⎰2-19 已知随机过程()cos3X t V t =，其中V 是均值和方 差皆为1的随机变量。

令随机过程求()Y t 的均值、自相关函数、协方差函数和方差？ 解：1． 求均值，利用[()][()]bba a E X t dt E X t dt=⎰⎰随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换2.求自相关函数3. 求互协方差函数4. 求方差 ()[],t Y C t t D Y t =⎡⎤⎣⎦是关于的方差一元函数()[]2222sin sin 3sin 39933t t V D Y ttV t D t D t ⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦方法二：2-20 已知平稳高斯过程()X t 的自相关函数为①()6exp 2X R ττ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②sin ()6X R πττπτ=求当t 固定时，过程()X t 的四个状态(),(1),(2),(3)X t X t X t X t +++的协方差矩阵？分析：高斯过程四个状态的1112131421222324313233344142434444C C C C C C C C C C C C C C C C ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 解：①()τX t 平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关 ②6000060000600006C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2-21 已知平稳高斯过程()X t 的均值为0，令随机过程2()[()]Y t X t =。

证明 [][]22()(0)2()Y X X R R R ττ=+2-22 已知随机过程0()cos()X t A t ω=+Φ，其中随机相位Φ服从(0,2)π上的均匀分布；A 可能为常数，也可能为随机变量，且若A 为随机变量时，和随机变量Φ相互独立。

当A 具备什么条件时，过程各态历经？分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且()[()]X t E X t = 解：① A 为常数时()()2220(,)cos 22A A E X t R t t E X t ττ⎡⎤=+==⎡⎤⎣⎦⎣⎦()X t 为平稳过程A 为随机变量时和随机变量Φ相互独立()X t 为平稳过程② 01()lim cos()02TTT X t A t d Tt ω-→∞=+Φ=⎰③。