Matlab实验报告
——定积分的近似计算
学生姓名：
学号：
专业：数学与应用数学专业
数学实验报告
实验序号:1001114030 日期：2012年10月20日
班级应一姓名陈璐学号1001114030
实验名称：定积分的近似运算
问题背景描述：
利用牛顿—莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适合于被积分函数的原函数能用初等函数表达出来的情形。
如果这点办不到或不容易办到，
这就有必要考虑近似计算的方法。
在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没
有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只
能应用近似方法去计算相应的定积分。
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线发。
对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1.sum（a）：求数组a的和。
2.format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字。
3.double（）：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数之则转化为
相应的实型数值。
4.quad（）：抛物线法求数值积分。
格式：quad（fun，a，b）。
此处的fun是函数，并且
为数值形式，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点。
5.trapz():梯形法求数值积分。
格式：trapz（x，y）。
其中x为带有步长的积分区间;y为数
值形式的运算。
6.fprintf（文件地址，格式，写入的变量）：把数据写入指定文件。
7.syms 变量1变量2……：定义变量为符号。
8.sym（'表达式'）：将表达式定义为符号。
9.int（f，v，a，b）：求f关于v积分，积分区间由a到b。
10.subs（f，'x'，a）：将a的值赋给符号表达式f中的x，并计算出值。
若简单地使用subs
（f），则将f的所有符号变量用可能的数值代入，并计算出值。
实验所用软件及版本：Matlab 7.0.1
主要内容（要点）：
1.矩形法：i b a n
i i x f dx x f ⎰∑=∆=1)()(ς （1）左点法：对等分区间b x i n
a b a x x a x n i =<<-+
=<<<= 10在区间[]i i x x ,1-上取左端点，即取1-=i i x ς。
（2）右点发：同（1）中划分区间，在区间[]i i x x ,1-上取右端点，即取i i x =ς。
（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间[]i i x x ,1-上取右端点，即取21i i i x x +=
-ς。
2.梯形法：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=
-⎰22)(110n n b a y y y y n a b dx x f 3.抛物线法：()()[]2242123120246)(--+++++++++-=⎰n n n b a y y y y y y y y n
a b dx x f 4.直接用Matlab 命令计算结果
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
1、分别用梯形法和抛物线法，计算⎰2
1x
dx ，将积分区间[0,1]作120等分。
并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异。
(1)梯形法：
format long
n=120;a=1;b=2;inum=0;
syms x fx
fx=1/x;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n;
xi=a+i*(b-a)/n;
fxj=subs(fx,'x',xj);
fxi=subs(fx,'x',xi);
inum=inum+(fxj+fxi)*(b-a)/(2*n);
end
inum
integrate=int(fx,1,2)
integrate=double(integrate)
fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum-integrate)/integrate))
运行结果：inum =0.69315152080005
integrate =log(2)
integrate =0.69314718055995
The relative error between inum and real-value is about: 6.26164e-006
(2)抛物线法：
format long
%2*n=240;
n=120;
a=1;b=2;
syms x fx
fx=1/x;
for i=1:n
x0=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);
x1=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);
x2=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n);
fx0=subs(fx,x,x0);
fx1=subs(fx,x,x1);
fx2=subs(fx,x,x2);
Si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n);
inum=inum+Si;
end
inum
integrate=int(fx,1,2);
integrate=double(integrate)
fprintf('抛物线法的相对误差为: %e\n',abs((inum-integrate)/integrate))%将inum输入成了abs导致运行出错
运行结果：inum =0.69314718056936
integrate =0.69314718055995
抛物线法的相对误差为: 1.358861e-011
(3)Trapz （）法：
x=1:1/120:2;
y=1./x;
trapz(x, y)
运行结果：ans =0.69315152080005
(4)quad()法:
quad('1./x',1,2)
运行结果：ans =0.69314719986297
2、试计算定积分⎰
+∞0sin dx x
x .（注意：可以运用trapz （）、quad （）或附录程序求解吗？为什么？) syms x
f=sin(x)/x;
I=int(f,0,inf)%该题积分上限为正无穷，故只能用符号运算，而不能用trapz()、quad()或附录程序 运行结果：I =1/2*pi
3、学习fuluBsum.m 的程序设计方法，尝试用函数sum 改写矩阵方法和抛物线法的程序，避免for 循环.
format long
n=120;a=1;b=2;
syms x fx
fx=1/x;%第一次操作将fx 的值当作了1，运算出错
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n;
xi=a+i*(b-a)/n;
fxj=subs(fx,'x',xj);
fxi=subs(fx,'x',xi);
f=(fxj+fxi)/2*(b-a)/n;
inum=sum(f)
integrate=int(fx,1,2)
integrate=double(integrate)
fprintf('The relative error between inum and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum-integrate)/integrate))%第二个连接符号打成了下划线
运行结果：inum =0.69315152080005
integrate =log(2)
integrate =0.69314718055995
The relative error between inum and real-value is about: 6.26164e-006
思考与深入：这几个题其实都不算难，但是由于是第一次运用所学Matlab知识，很多地方只能照着书本才能写出来程序，对各种方法都很陌生，需要加强运用。
另外，有些程序编译较简单，但是出现了些低级错误，比如拼写出错，或是符号打成了中文符号。
总的来说还需加强复习这方面的内容，最好能运用Matlab中近似计算积分的知识解决积分中遇到的难题。
教师评语：。