北京一零一中2020-2021学年高二（上）数学期末考试
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为
A.23A
B.2
3C C.23 D.32 2.已知盒子中装有3个红球，2个白球，5个黑球，它们的大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个球，且不放回，则甲在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 A.310 B.13 C.38 D.29
3.若直线240x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a b -的值为
A.6
B.2
C.-2
D.-6
4.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点，且90POQ ∠=︒（其中O 为原点），则k 的值为
B. 1
C.
D.1±
5.将标号为12345，，，，的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为
A.150
B.300
C.60
D.90 6.48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中的常数项为 A.32 B.34 C.36 D.38
7.过三点()()()1,3,4,2,1,7A B C -的圆交y 轴于,M N 两点，则MN =
A. B.8 C. D.10
8.双曲线22
142
x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上。
O 为坐标原点，则下列说法错误的是
A.B.双曲线22
142
y x -=与双曲线C 的渐近线相同
C.若PO PF ⊥，则PFO
D.PF 的最小值为2
9.某市新高考方案规定的选课要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四科中任选两科。
现有甲、乙两名学生按规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法种数为
A.24
B.30
C.48
D.60
10.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，点,M N F ，分别为椭圆C 的左顶点、上顶点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是
A.2
B. 2
C. 2
D.2
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.如果椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为，那么双曲线()22
22-100x y a b a b =>>，的离心率为 12.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 距离之和的最小值是
‘13.如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作。
若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为
14.甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为23，乙命中的概率为45
，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()E ξ=
15.已知点()2,4A 在抛物线()2
20y px p =>上，直线l 交抛物线于,B C 两点，且直线AC 与AB 都是圆22
:430N x y x +-+=的切线，则,B C 两点纵坐标之和是 ，直线l 的
方程为
三、解答题共5小题，共45分。
解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题10分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设该路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111234
，，
（1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望
（2）若有2辆车独立从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率
17.（本小题10分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，过点()0-1，，离心率2e = (1)求椭圆的标准方程
（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，点M 的坐标为()20，，
设直线AM 和BM 的斜率分别为AM k 和BM k ，求+AM BM k k 的值
18.（本小题10分）
某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同。
（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率
(2)每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列
（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）
19.（本小题10分） 设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，12,F F 为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c ，且12,b c BF F >的面积为
（1）求椭圆C 的方程
（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点M ，且与直线4x =相交于点N ，试探究：在坐标平面内是否存在定点P ，使得以MN 为直径的圆恒过定点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
20.（本小题5分）
（1）设i 为虚数单位，则
)7i 的实部为 （2）计算：()2243610092018101020202021202120212021202120211
1-3C 33...332C C C C +-+-+=。