2.10 函数模型及其应用一、填空题1.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1 x 2(0＜x ＜240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是________台．解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 1502．某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x 件 (x ∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)元，则f(x)的解析式是____________．解析 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论． 答案 f(x)＝⎩⎨⎧ 5 000x ，x ∈{1，2，3，4，5}，4 500x ，x ∈{6，7，8，9，10}，4 000x ，x ∈{11，12，13，14，15}3．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为________．解析 所倒次数1次，则y ＝19；所倒次数2次，则y ＝19×1920……所倒次数x 次，则y ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x －1＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x . 答案 y ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x 4．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车(精确到 1小时)．解析 设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09， ∴0.75x ≤0.3.x ≥log 0.750.3≈5.答案 55．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg ，配料的价格为1.8元/kg ，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg 支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P ＝________.解析 当9天购买一次配料时，该厂用于配料的保管费用P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．答案 88元7．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，存期是x ，本利和(本金加利息)为y 元，则本利和y 随存期x 变化的函数关系式是________． 解析 已知本金为a 元，利率为r ，则1期后本利和为y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )，2期后本利和为y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2，3期后本利和为y ＝a (1＋r )3，……x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案y＝a(1＋r)x，x∈N*8．20XX年初，甲、乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.20XX年初在经济指标对比时发现，这两家企业在20XX年和20XX年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长：企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则20XX年两企业缴纳地税的情况下列说法中正确的是________(填序号)．①甲多②乙多③甲乙一样多④不能确定解析设企业甲每年缴纳的地税组成数列{a n}，由于企业甲年增长数相同，所以数列{a n}是等差数列，则a n是关于n的一次函数．设企业乙每年缴纳的地税组成数列{b n}，由于企业乙年增长率相同，所以数列{b n}是等比数列，则b n是关于n的指数型函数．根据题意，a1＝b1，a8＝b8，如图知a9＜b9，故20XX年企业乙缴纳的地税多．答案②9．将函数y2－x－12－1(x∈[0,2])图象绕原点逆时针方向旋转θ角(0≤θ≤α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值是________．解析由函数定义，若曲线对应的方程为函数解析式时，直线x＝a与该曲线若相交，则仅有一个交点，如图，当α＝π4时符合题意．答案π410．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注入2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止，现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗浴．解析 由题意得水箱内的水量为y ＝200－34t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1722＋200－1722，当t ＝172时，水箱内的水量达到最小值，此时放水量为172×34＝289升，而4＜28965＜5，所以该热水器一次至多可供4个人洗浴．答案 411.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为____________.(lg2=0.301 0,lg11.49=1.060 2)解析 设产值平均年增长率为x,则10(1)4x +=. 两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.∴lg 203010(1)010x ⨯.+==.060 2.∴00602110x .+=.又∵lg11.49=1.060 2,∴11.106020060249101010..==⋅.∴00602101.=.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%.答案 14.9%12．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为________．解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54a ，所以y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)． 答案 y ＝a 4x (x ∈N *) 13．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．①则第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )＝________.②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是________小时．解析 ①设y ＝⎩⎨⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎨⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1. ②由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎨⎧ t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5 因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 答案 ①y ＝⎩⎨⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1 ②7916二、解答题14．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解析 设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节，则设t ＝kn ＋b .由⎩⎨⎧ 16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b ，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝24.所以t ＝－2n ＋24. 设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人，则y ＝tn ×110×2＝2(－220n 2＋2 640n )．当n ＝2 640440＝6时，总人数最多为15 840人． 故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．15．某销售商销售某品牌手机，该品牌手机的进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推)，销售量都增加11%.(1)当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(2)试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？解析 设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m 部，(1)原来利润为(1 880－1 580)m ＝300m (元)，当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润为(1 880－1 580－30)m (1＋11%)2＝1.232 1×270m ，1.232 1×270m 300m＝1.108 89，即当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍．(2)当赠送礼物的价值为15x 元时，销售的总利润为f (x )元，则f (x )＝(1 880－1 580－15x )·m ·(1＋11%)x＝15m (20－x )·1.11x ，x ∈N ，且x ≤12，f (x ＋1)－f (x )＝15m (1.09－0.11x )·1.11x ，令f (x ＋1)－f (x )≥0，得x ≤91011. 因为x ∈N ，且x ≤12，所以当x ≤9时，f (x ＋1)＞f (x )；当9＜x ≤12时，f (x ＋1)＜f (x )．故当赠送礼物的价值为150元时，可以获得最大利润．16．某地区的农产品A 第x 天(1≤x≤20)的销售价格p ＝50－|x －6|(元∕百斤)，一农户在第x 天(1≤x≤20)农产品A 的销售量q ＝40＋|x －8|(百斤)．(1)求该农户在第7天销售农产品A 的收入；(2)问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？解析 (1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝41.∴第7天的销售收入W 7＝49×41＝2 009(元)．(2)设第x 天的销售收入为W x ，则W x ＝⎩⎨⎧ 44＋x 48－x，1≤x ≤6，2 009，x ＝7，56－x 32＋x ，8≤x ≤20.当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤44＋x ＋48－x 22＝2 116， 当且仅当x ＝2时取等号．∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116. 当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤56－x ＋32＋x 22＝1 936.(当且仅当x ＝12时取等号)∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．答：(1)第7天的销售收入为2 009元；(2)第2天该农户的销售收入最大．17． 20XX 年青奥会水上运动项目将在J 地举行，截止20XX 年底，投资集团B 在J 地共投资100万元用于地产和水上运动项目的开发，经调研，从20XX 年初到20XX 年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1)B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2)假设20XX 年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，20XX 年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B 集团投资成功的标准是：从20XX 年初到20XX 年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于投资额的18%，问B 集团投资是否成功？解析 (1)设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元．由题意，y ＝0.2(100－x )＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]．即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]． 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.故B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．(2)由(1)知，在上交资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，得从20XX 年到20XX 年，B 集团需上交J 地政府资源占用费共为 2(1＋1.11＋1.12)＝6.62(百万元)．所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功． 故B 集团在J 地投资能成功．18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解析 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4003x ＋5＋3x ＋5－10≥2×2400－10＝70(当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时，“＝”成立)， 所以当x ＝5时，f (x )min ＝f (5)＝70.故隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。