（2）提供研究方向
你能举出归纳推理 的例子吗?
问题引入
1.已知数列{an}中，a1=1，且
an an+1= 1 a n
(n=1,2,…)
(1)计算a1,a2,a3,a4; (2)猜想an=？.
归纳 推理
an 例 1 已知数列 an 的第一项 a1 1 ， 且 an 1 （ n N ） ， 1 an
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 它也可以是齿形的.
我需要一种能割断木头的工具；
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
2
所以对于所有的自然数n,
2 n 8
n 2
上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
不正确 ，当n=6时不成立。
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠 业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
分析：n 2, f (2) 1 n 3, f (3) 3 f (2) 2
n 4, f (4) 6 f (3) 3

f (n) f (n 1) n 1
巩固练习
1、当 n 0,1,2,3 时，2 都成立。
n
n 8 成立，
1 1 1 2n 1 则可归纳出： 1 2 2 2 2 3 (n 1) n 1
例2. 根据给出的数塔猜测 123456×9+7=____
1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 ……
1111111
例３.平面上 2条直线最多有1个交点， 3条直线最多有3个交点， 4条直线最多有6个交点， 5条直线最多有10个交点， 则n条直线最多交点数比 n-1条直线最多交点数多___个. （n∈N,n≥2）
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a 2 b 2;等等.
华罗庚教授曾举过一个例子：
从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球， 甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们 立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻 璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候， 这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不 是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是，当我们有一次摸 出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出 现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个 猜想对不对，还必须加以检验…… 从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不断地提 出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想的 过程
所有的爬行动物都是用肺呼吸的
部分
由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 猜想：一切金属都能导电 个别
整 体 一 般
三角形的内角和是180度，凸四边形的内角 和是360度，凸五边形的内角和是540度，„„ 由此猜想：凸n边形的内角和是(n-2) ×1800
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
2 1 5, 2 1 17, 23 24 2 1 257, 2 1 65537 ,
21
22
都是质数 猜想： 2
25
2n
1是质数.
半个世纪之后，欧拉发现：
2 1 4294967297 641 6700417
注意：归纳推理的结论不一定正确
２.归纳推理的作用 （1）发现新事实，获得新结论
例1.拓展1 2 1 a1 2 2 a2 1
2
2 2 a3 3 3 2 1 a4 4 2 猜想an ? 2 n
例1 拓展2
观察下列式子： 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1 2 ,1 2 2 ,1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, „„ 1000＝29+971， 1002=139+863, „„
猜想任何一个大于4的偶 数都等于两个素数的和.
归纳推理
1.定义 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理，称为归纳推理（简称 归纳）。
试归纳出这个数列的通项公式.
典例分析
1 1 ； 11 2 1 1 1 1 当 n 4 时， 3 2 a4 . 当 n 3 时， a3 ； 1 4 1 3 1 1 3 2
解：当 n 1 时， a1 1 ；当 n 2 时， a2
1 通过观察，猜想这个数列的通项公式为 an （ n N ）. n
1.1.1 归纳推理
古时候一个地主有4个儿 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？
小宝
当看到天空乌云密布，燕子低飞，
蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个
判断：天要下雨了。 谚语说：“八月十五云遮月， 来年正月十五雪打灯。”
蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的 ， 海龟也是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、 都是爬行动物，猜想：