关于哥德巴赫猜想问题的讨论及证明
mscdy2007@
一、余的分布
对任一自然数列1,2,3,4,……n即为以自然数n为模的余的全集。
其中1,2,3,4,……n-1为模n的真余，当数列项为n时，余为0，当余为0时，为n的整余。
其中模n的真余分布值为(n-1)/n，而模n的整余分布值为1/n。
二、自然数a,b对模n的关系
设a>=b；r(a, n)为a模n的余值，r(b, n)为r(b, n)的余值，有下述关系：
A 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为整余，称a,b为同整余（r(a,n) = 0，r(b,n) = 0）；
B1 如果r(a,n)为整余，如果r(b,n)为真余，称a,b为异余（r(a,n) = 0，r(b,n) != 0）；
B2 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为整余，称a,b为异余（r(a,n) != 0，r(b,n) = 0）；
C 如果r(a,n)为真余，如果r(b,n)为真余，存在下述关系：
C1 如r(a,n) = r(b,n)，称a,b为同余；
C2 如r(a,n) = n - r(b,n)，称a,b为补余；
C3 如r(a,n) != r(b,n)并r(a,n) + r(b,n) != n，称互为质余。
D 当n为双数时，并r(a,n) = n/2时，r(b,n)为同余时亦为补余。
三、两数和差的关系
当a,b关系为同整余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。
当a,b关系为异余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。
当a,b关系为同余时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) != 0；即其和不能被n整除、差能被n整除。
当a,b关系为补余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) = 0；即其和能被n整除、差能不被n整除。
当a,b关系为质余时，r(a–b,n) != 0，r(a+b,n) != 0；即其和、差均不能被n整除。
当a,b关系为D时，r(a–b,n) = 0，r(a+b,n) = 0；即其和、差均能被n整除。
四、质数余的讨论及两数互为异余或互为质余时分布值的讨论
关于质数，令i为自然数列1,2,3,4,……n中之一，当0<i<n时，并最大公因数(i,n)=1，则n 为一质数p。
当a,b关系为异余或质余时a+b及a-b均与p互质。
当r(a, p)为整余，a,b关系为异余时，b的分布值为(p-1)/p。
当a,b关系为质余时，b的分布值为(p-2)/p。
对于二质数pi,pj，当a,b模pi, pj关系同为异余时，
即(r(a,pi) = 0，r(b,pi) != 0)，(r(a,pj) = 0，r(b,pj) != 0)时，
r(a–b,pi) != 0，r(a+b,pi) != 0；r(a–b,pj) != 0，r(a+b,pj) != 0；
a+b及a-b均与pi及pj均互质，并b的分布值为(pi-1)/pi*(pj-1)/pj。
对于二质数pi,pj，当a,b模pi, pj关系同为质余时，
即(r(a,pi) != 0，r(b,pi) != 0，r(a,pi) != r(b,pi))，(r(a,pj) != 0，r(b,pj) != 0，r(a,pj) != r(b,pj)时，r(a–b,pi) != 0，r(a+b,pi) != 0；r(a–b,pj) != 0，r(a+b,pj) != 0；
a+b及a-b均与pi及pj均互质，并b的分布值为(pi-2)/pi*(pj-2)/pj。
对于二质数pi,pj，当a模pi为异余时，a模pj为质余时，
即(r(a,pi) = 0，r(b,pi) != 0)，(r(a,pj) != 0，r(b,pj) != 0，r(a,pj) != r(b,pj)时，
r(a–b,pi) != 0，r(a+b,pi) != 0；r(a–b,pj) != 0，r(a+b,pj) != 0；
a+b及a-b均与pi及pj均互质，并b的分布值为(pi-1)/pi*(pj-2)/pj。
反之，对于二质数pi,pj，当a模pi为质余时，a模pj为异余时，
a+b及a-b均与pi及pj均互质，并b的分布值为(pi-2)/pi*(pj-1)/pj。
如设a模p确定时，b的分布值为(p-k)/pi，k=1,2。
当r(a,p) = 0时，k = 1；r(a,p) != 0时，k = 2。
推之，对于任一质数群pi1, pi2, …, pin，并质数群中之质数两两互质，
a+b及a-b均与质数群中各质数均互质，
则b的分布值为b*(pi1-k)/pi1*(pi2-k)/pi2*…*(pin-k)/pin。
K的值视a模相关质数的结果而定。
可视b的分布值范围为
(pi1-1)/pi1*(pi2-1)/pi2*…*(pin-1)/pin >=
(pi1-k)/pi1*(pi2-k)/pi2*…*(pin-k)/pin >=
(pi1-2)/pi1*(pi2-2)/pi2*…*(pin-2)/pin
五、偶数分解为两质数之和的讨论
一偶数以2M表达，P为小于2M平方根的最大质数，P(Q)为自p1到P的所有质数的质数群。
如在M内能找到值g，使M+g及M-g均与质数群P(Q)中各质数均互质，则偶数分解为两质数之和成立，即2M = (M-g) + (M+g)，
并可得g的分布值为
M*1/2*(3-k)/3*…*(P-k)/P
>= M*1/2*1/3*…*(pi-2)/pi*…*(P-2)/P
>= M*(1/2)*(1/3)*…*(2n-1)/(2n+1)*…*(P-2)/P
= M*(1/2)*(1/P)
= M/(2P)
= M/(2*SQRT(2M))
= SQRT(M/8)
可得
M=8时，偶数为16时，至少可分解成1对质数之和。
M=16时，偶数为32时，至少可分解成2对质数之和。
M=24时，偶数为48时，至少可分解成3对质数之和。
……
而实际所得的结果远大于上述计算结果。
六、结果
因此可知，不仅任一偶数总能表达成两质数之和，并随M的增大，2M能分解成质数之和的对数也随之而增多。