数学分析单元测试
一、判断题（每题2分，共20分）
1、点集S 的最大值一定是S 的上确界。

（ ）
2、设两正数a 、b 满足，则对任何0>ε，有02=-⇔<
-b a b a ε。

（ ） 3、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，则()()()(){}x g x f x g x f D x D x D x +≤+∈∈∈inf inf inf ，
且严格不等式能成立。

（ ）
4、若,...2,1,=<n b a n n ，则n n n n b a ∞
→∞→<lim lim 。

（ ） 5、{}n a 2收敛，{}{}n n a a 412 -收敛，则{}n a 一定收敛。

（ ）
6、⎭⎬⎫⎩
⎨⎧2sin πn 是收敛数列。

（ ） 7、a a a a n n n n =⇔=∞
→∞→lim lim 。

（ ） 8、若0lim >=∞
→a a n n ，则存在N ，当N n >时，0>n a 。

（ ） 9、若{}n a 收敛，且,...2,1,01.02=≥n a n ，则N ∃，当N n >时有01.0≥n a 。

（ ）
10、N -ε定义中的“ε<-a a n ”可改作“2ε<-a a n ”，“2ε<
-a a n ”，“εlog <-a a n ”等。

（ ）
二、填空题（每题3分，共30分）
1、{}n a 与其________（平凡、非平凡、平凡及非平凡）子列同敛散。

2、设S 为有界点集，21S S S =，且1sup S 、2sup S 已知，则S sup =________。

3、21S S ⊆，则1inf S ________2inf S （比较大小，填≤≥,）
4、叙述a a n n =∞
→lim 的“N -ε”定义。

5、叙述{}n a 不以a 为极限的定义。

6、 叙述数列的柯西收敛准则。

7、设A sup =η且A ∉η，对ηα<∀，满足A x ∈且α>x 的x 的个数________（有
限、无限、不一定）
8、若常数a 满足1>a ，则=+∞→1lim n
n n a a ________（若不存在，则填不存在）。

9、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→n n n n 221 (1)
1lim ________。

10、若a n
a a n n =++∞→ (i)
1，则=∞→n a n n lim ________。

三、综合题（每题5分，共30分）
1、求下列极限。

1) ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯∞→11...321211lim n n n 2) n n n n !lim
∞→ 3) ()()n
n n
n n 3232lim 1+-+-+∞→ 4) n n n
11lim -∞→ 2、说明极限的存在性。

1) ()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n n 2) n
a n 1...211+++= 四、证明题
1) 用N -ε定义证明a a n n ,1lim =∞
→为正常数。

2) 用N -ε定义证明11lim =+∞→n n n。