第21章重积分
21.1本章要点详解
本章要点
■二重积分的概念
■二重积分的定义、存在性及性质
■格林公式
■曲线积分与路径无关的定义
■二重积分的变量替换
■三重积分的定义、计算
■重积分的应用
重难点导学
一、二重积分的概念
1．平面图形的面积
（1）设P是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T分割这个图形（如图21-1所示）这时直线网T的网眼——小闭矩形Δi可分为三类
①Δi上的点都是P的内点；
②Δi上的点都是P的外点，即；
③Δi上含有P的边界点．
图21-1
将所有介于直线网T 的第①类小矩形（如图21-1中阴影部分）的面积加起来，记这个和数为s p （T ），则有（这里ΔR 表示包含P 的那个矩形R 的面积）；将所有第①类与笫③类小矩形（如图21-1中粗线所围部分）的面积加起来，记这个和数为S p （T ），则有s p （T ）≤S p （T ）．
由确界存在定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集{s p （T ）}有上确界，数集{S p （T ）}有下确界，记
显然有
通常称I P 为P 的内面积，P I 为P 的外面积．
（2）若平面图形P 的内面积I P 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P P P I I I ==为P 的面积．
（3）平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的ε＞0，总存在直线网T ，使得
S p （T ）－s p （T ）＜ε
（4）平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0P I =，即对任给的ε＞0，存在直线网T ，使得S p （T ）＜ε或对任给的ε＞0，平面图形P 能被有限个面积总和小于ε的
小矩形所覆盖．
（5）平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零．
（6）若曲线K为定义在[a，b]上的连续函数f（x）的图像，则曲线K的面积为零．（7）参数方程所表示的光滑曲线K的面积为零．
（8）由平面上分段光滑曲线所围成的有界闭区域是可求面积的．
2．二重积分的定义及其存在性
（1）设f（x，y）是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，J是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于D的任何分割T，当它的细度时，属于T的所有积分和都有
则称f（x，y）在D上可积，数J称为函数f（x，y）在D上的二重积分，记作
其中f（x，y）称为二重积分的被积函数，x，y称为积分变量，D称为积分区域．
（2）f（x，y）在D上可积的充要条件是：．（3）f（x，y）在D上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D的某个分割T，使得S（T）－s（T）＜ε．
（4）有界闭区域D上的连续函数必可积．
（5）设ε在有界闭域D上有界，且其不连续点集E是零面积集，则f（x，y）在D上可积．
3．二重积分的性质
（1）若f （x ，y ）在区域D 上可积，k 为常数，则kf （x ，y ）在D 上也可积，且
(,)d (,)d D D
kf x y k f x y σσ
=⎰⎰⎰⎰（2）若f （x ，y ），g （x ，y ）在D 上都可积，则f （x ，y ）±g （x ，y ）在D 上也积，且
（3）若f （x ，y ）在D 1和D 2上都可积，且D 1与D 2无公共内点，则f （x ，y ）在D 1∪D 2上也可积，且
（4）若f （x ，y ）与g （x ，y ）在D 上可积，且
f （x ，y ）≤
g （x ，y ），（x ，y ）∈D
则
（5）若f （x ，y ）在D 上可积，则函数|f （x ，y ）|在D 上也可积，且
（6）若f （x ，y ）在D 上可积，且
则
这里S D 是积分区域D 的面积．
（7）中值定理
若f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存存（ξ，η）∈D ，使得
这里S D 是积分区域D 的面积．
二、直角坐标系下二重积分的计算
1．定义在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上二重积分计算问题
（1）设f （x ，y ）在矩形区域D ＝[a ，b ]×[c ，d ]上可积，且对每个x ∈[a ，b ]，积分(,)d d
c f x y y ⎰存在，则累次积分
d (,)d b d
a c x f x y y ⎰⎰也存在，且(,)d d (,)d
b d
a c D f x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰（2）设f （x ．y ）在矩形区域D ＝[a ，
b ]×[
c ，
d ]上可积，且对每个y ∈[c ，d ]，积分(,)d b
a f x y x
⎰存在，则累次积分d (,)d d
b
c a y f x y x ⎰⎰也存在且(,)
d d (,)d d b
c a D f x y y f x y x σ=⎰⎰⎰⎰2．定义在一般区域的二重积分计算问题
若f （x ，y ）在x 型区域D 上连续，其中y 1（x ），y 2（x ）在[a ，b ]上连续，则
21()()(,)d d (,)d b y x a y x D f x y x f x y y
σ=⎰⎰⎰⎰即二重积分可化为先对y ，后对x 的累次积分．
三、格林公式、曲线积分与路线的无关性
1．格林公式
（1）设区域D 的边界L 中一条或几条光滑曲线所组成边界曲线的正方向规定为：当人
沿边界行走时，区域D总在它的左边；如图21-2所示，与上述规定的方向相反的方向称为负方向，记为－L．
图21-2
（2）若函数P（x，y），Q（x，y）在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
（21-1）这里L为区域D的边界曲线，分段光滑，并取正方向．
（3）格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系．格林公式（21-1）也可写成下述形式
2．曲线积分与路线的无关性
（1）若对于平面区域D上任一封闭曲线，皆可不经过D以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域．否则称为复连通区域．
（2）设D是单连通闭区域，若函数P（x，y），Q（x，y）在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价
①沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有。