dx dx 2 2 cos x sin x
tan x cot x C
微积分 五②
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3 2 )dx . 例7 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 1 1 解 ( )dx 3 dx 2 dx 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C


dx x x C

C ( x ) x x .
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微减同一个代数式，然后分项
x dx 例3. 求 1 x2 1 x2 1 1 解：原积分= dx dx dx 2 2 1 x 1 x x arctan x C dx 例4. 求 2 2
2
x (1 x ) 2 2 1 x x 1 dx dx 2 dx 解：原积分= 2 2 2 x (1 x ) x 1 x 1 arctan x C x
dx x 3 x 3 dx d ( )
(4) a x dx a x / ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
dx 2 x du u 2 dx 2 x
微积分 五②
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2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
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一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
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1.1、积分法
x x 1
1

x 1 x dx C . ( 1) 1
微积分 五②
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x 4 1 1 ( x 2 1)dx dx x dx dx 2 2 2 1 x 1 x 1 x
4
x / 3 x arctan x C
3
⑶ 利用三角公式分项
例5.求
tan xdx (sec 2 x 1)dx 解：原积分= 2 sec xdx dx
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式. 比如: (arcsin x )

1 1 x2

x

dx arcsin x C .
微积分 五②
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1.2、基本积分公式
dx 2 ⑻ sec xdx tan x C; 2 cos x ⑴ 0dx=C (k是常数); dx csc 2 xdx cot x C ; 1 ⑼ 2 x C ( 1); sin x ⑵ x dx 1 ⑽ secxtanxdx sec x C ; dx ln x C ; ⑶ ⑾ cscxcot xdx csc x C ; x 1 x x ⑿ ⑷ e dx e C ; dx arctan x C ; 1 x2 ax 1 a x dx ⑸ C; ⒀ dx arcsin x C ; 2 ln a 1 x ⑹ cosx dx sin x C ; 零常幂幂对，指无指有对；
2
tan x x C
微积分 五②
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例6. 求 cos 2
x dx 2
1 1 1 cos x 解：原积分= dx dx cos xdx 2 2 2 1 ( x sin x ) C 2 dx (sin 2 x cos 2 x )dx 2 2 sin 2 x cos 2 x sin x cos x
2
5 2
2
2 7 C x2 C. 7
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否 等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。 5 2 7 2 x 2 x2 x 验证：（ x C） 7 说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
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xdx
例8 设生产某产品 x 单位时的边际成本函数为
C ( x )
解 C ( x ) (



且固定成本是5000元，求总成本函数C(x).

x
由C () 代入上式 可求得C 故 , ,
x

)dx dx x


⑺ sinx dx cos x C ; 三角有三对，原反只一对.
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2.1、直接积分法 利用基本积分公式、不定积分的基本性质，并结合被 积函数的恒等变形可求积分的方法称为直接积分法。 5 例1 求积分 x 2 xdx . 1
x 解 x xdx x dx 1 5 1 x C 2 根据积分公式⑵ x dx 1
⑴ 利用乘除法分项
例1. 求 ( 2
x ) xdx ( 2 x x 3 / 2 )dx 解：原积分=
2 xdx x 3 / 2dx x 1 3 / 2 x2 C 1 3/ 2 2 5/ 2 2 x x C 5
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t 3 3t 1 例2. 求 dt t 1 2 解：原积分 ( t 3 )dt t 1 2 t dt 3dt dt t 3 t 3t ln t C 3 2 ( x 1)( x 2) x 3x 2 dx dx x 1 x 1 2 xdx 2 dx x / 2 2 x C