高中数学专题训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x的不等式： (1) x2－ (a＋ 1)x＋ a＜ 0， (2) 2x2 mx 2 0 ．2 设集合 A={ x|x2＋3k2≥2k(2x－ 1)} ， B={ x|x2－ (2x－ 1)k＋k2≥ 0} ，且 A B，试求 k 的取值范围．3．不等式 (m2－ 2m－ 3)x2－ (m－ 3)x－1＜ 0 的解集为 R，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y＝ x2＋ px＋ q，当 y＜ 0 时，有－1＜x＜1，解关于x的不等式qx2＋px2 3＋1＞ 0．5．若不等式1 x 2qx p 0的解集为x |2 x 4，求实数p与q的值．p6. 设f x ax2bx c a 0 ，若 f 0 1， f 1 1， f － 1 1 ,试证明：对于5任意 1 x 1，有f x.47（. 经典题型，非常值得训练）设二次函数 f x ax 2 bx c a 0 ，方程 f x x 0的两个根 x1 , x2满足 0 x110,x1 时，证明 x f x x1. x2. 当xa8. 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－ 1， 0)内，另一根在区间(1， 2)内，求 m 的范围 .(2)若方程两根均在区间(0， 1)内，求 m 的范围 .9. 已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c 和一次函数 g(x)=－ bx ，其中 a 、b 、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A 1B 1 的长的取值范围 .ty(a>0 且 a ≠ 1)10.已知实数 t 满足关系式 log alog aa 3a 3(1)令 t= a x ,求 y=f(x)的表达式；(2)若 x ∈ (0,2 ] 时， y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 .11.如果二次函数 y=mx 2+(m － 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围 .p q r12.二次函数 f(x)=px 2+qx+r 中实数 p 、 q 、 r 满足m 1=0,其中 m>0,求证：m 2m(1)pf(m)<0;m 1(2)方程 f(x)=0 在 (0，1)内恒有解 .13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件 )与售价 P( 元/件 )之间的关系为P=160－ 2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 .(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300 元(2)当月产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少元14.已知 a、b、c 是实数，函数 f(x) ＝ax2＋bx＋ c，g(x)＝ax＋ b，当－1≤x ≤ 1 时， |f(x)|≤1．(1)证明： |c|≤1；(2)证明：当－ 1≤x ≤1 时， |g(x)|≤2；15. 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 ，方程 f x x 0 的两个根x1, x2满足0 x1 x2 1f x 的图像关于直线x x0对称，证明： x0x1 . 且函数.a 216. 已知二次函数 f ( x) ax 2bx 1 (a,b R, a 0) ，设方程 f (x) x 的两个实数根为 x1和 x2.（ 1）如果x 2 x2 4 ，设函数 f ( x) 的对称轴为x x0，求证：x0 1；1（ 2）如果x1 2 ， x2 x1 2 ，求 b 的取值范围.17. 设f ( x ) 3ax2 2bx c.若 a b c 0 ,f ( 0 ) 0，f (1) 0,求证：(Ⅰ ) a＞ 0 且－ 2＜a＜－ 1；b(Ⅱ )方程f ( x ) 0在（ 0，1 ）内有两个实根 .18. 已知二次函数的图象如图所示：（ 1）试判断及的符号；（ 2）若 |OA| ＝ |OB|，试证明。

19.为何值时，关于的方程的两根：（ 1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（ 4）一根大于 2，一根小于2；（ 5）两根在0， 2 之间。

20. 证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。

21.已知关于的方程两根为，试求的极值。

x28x 2022.若不等式0对一切x恒成立，求实数m的范围.mx2mx 123.设不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 {x|a<x< β }(0<a< β ),求不等式 cx2+bx+a<0的解集 .答案：1.解： (1) 原不等式可化为：( x a)( x 1) 0, 若a＞1时，解为1＜ x＜a，若 a＞1 时，解为 a＜ x＜ 1，若 a=1 时，解为(2)△ = m2 16 ．①当 m 2 16 0即m 4或m 4时，△＞0．方程 2x 2 mx 2 0 有二实数根：x1 m m2 16, x2 m m 2 16 .4 4∴原不等式的解集为x | x m m2 16 或x m m2 16 .4 4①当 m =±4时，△=0，两根为 x1 x2 m .4若 m 4, 则其根为－1，∴原不等式的解集为x | x R, 且x 1 ．若 m 4, 则其根为1，∴原不等式的解集为x | x R,且 x 1 ．②当－ 4＜m 4 时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．2．解：A { x | [ x (3k 1)][ x (k 1)] 0} ，比较3k 1, k 1的大小 , 因为 (3k 1) (k 1) 2( k 1),(1)当 k＞ 1 时， 3k－ 1＞ k＋1， A={ x|x≥ 3k－1 或 x k 1}.(2)当 k=1 时， x R .(3)当 k＜ 1 时， 3k－ 1＜ k＋1， A= x | x k 1或 x 3k 1 .B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式4k 2 4(k 2 k) 4k ，(1)当 k=0 时，0, x R .(2)当 k＞ 0 时，△＜ 0， x R .(3)当 k＜ 0 时，0, x k k或x k k .故：当 k 0 时，由B=R，显然有 A B ，当 k＜0 时，为使 A3k 1 k kk 1 ，于是k 1 时，A B.B ，需要1 k kk综上所述， k 的取值范围是：k 0或 1 k0.3..解： (１ )当 m2－2m－ 3＝ 0，即 m＝ 3 或 m＝－ 1 时，①若 m＝ 3，原不等式解集为R②若 m＝－ 1，原不等式化为4x－ 1＜ 014(２ )若 m2－ 2m－ 3≠0，依题意有m2 2m 3 0 1 m 3(m 3)2 4(m 2 2m即 13 3) 0 m5∴－1＜m＜ 3 5综上，当－1＜m≤ 3 时，不等式 (m2－ 2m－ 3)x2－( m－ 3)x－ 1＜0 的解集为 R .5 1， x2 14..解：由已知得x 1 是方程 x2＋ px＋q=0 的根，＝－＝2 3∴－ p=－1＋1q=－1 12 3 2×3∴ p＝1，q＝－1，∴不等式qx2＋ px＋ 1＞0 6 6即－1x2＋1x＋ 1＞ 0 66∴x2－ x－ 6＜0，∴－ 2＜ x＜ 3.即不等式 qx2＋ px＋ 1＞0 的解集为｛ x｜－ 2＜ x＜ 3｝ . 5.．解：由不等式 1 x2 qx p 0 的解集为x | 2 x 4 ，得p2和 4是方程1x2 qx p 0 的两个实数根，且 1 0．(如图) p p1 yP2 4 pq p 0.o2 4x 2 4 p 2解得 P 2 2 ,q 32. 26. 解：∵ f 1 a b c, f 1 a b c, f 0 c ,∴ a 1( f 1 f 1 2 f 0 ), b1( f (1) f ( 1)), c f 0 , 2 2∴ f x f 1 x2 x f 1 x 2 x f 0 1 x2 .∴当 1 x 0 时，2 2f xf 1x 2 xf 1 x 2x f 01 x 222x 2 xx 2 x 1 x 2x 2 x x 2 x(1 x 2 )2 222x 2 x 1( x 1 ) 2 5 5.2 4 4当 0 x1时， f xf 1x 2 x f 1x 2 2 xf 0 1 x 22x 2 x x 2 x 1 x 2x 2 x x 2 x (1 x 2)2222x2x 1( x 1)2 5 5 .24 47. 证明：由题意可知f ( x) x a(x x 1 )( x x 2 ) .0 x x 1 x 21 ,∴a(x x 1 )( x x 2 ) 0 ,a∴ 当 x 0, x 1 时， f (x) x .又 f ( x)x 1a( x x 1 )( x x 2 ) x x 1 ( x x 1 )(ax ax 2 1) ,x x 1 0, 且ax ax 21 1 ax 20, ∴ f ( x) x 1 ,综上可知，所给问题获证 .8. 解： (1) 条件说明抛物线 f(x)= x 2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间 (－ 1， 0)和 (1， 2)内， 画出示意图，得m 1f ( 0) 2m 1 0,2m R,f ( 1) 2 0,1 ,f (1) 4m 2 0, mf ( 2) 6m 5 025m6∴5 16m.2f ( 0) 0,f (1) 0, (2)据抛物线与x 轴交点落在区间 (0， 1)内，列不等式组0,m 1m 1, 2m1 , (这里 0<－m<1 是因为对称轴 x=－m 应在区间 (0，1)内通过 )2 m1 2或 m 12 ,1 m 0.9. (1) 证明：由 y ax2bxc消去 y 得 ax 2+2 bx+c=0ybx2222［ (a+ c 23 2 ］=4b － 4ac=4(－ a － c)－ 4ac=4( a +ac+c )=4)c2 4∵ a+b+c=0,a>b>c,∴ a>0,c<0 ∴3c 2>0,∴ >0,即两函数的图象交于不同的两点.4(2)解：设方程2的两根为2bc ax +bx+c=0x 和 x ,则 x +x =－,x x = .121212aa|A 1B 1|2=(x 1 －x 2 )2=(x 1+x 2)2－ 4x 1x 2(2b24c4b 2 4ac 4( a c) 2 4ac)aa 2a 2a4[( c)2c1] 4[(c1) 2 3]aaa 24∵ a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴ a>－a － c>c,解得 c ∈ (－ 2,－ 1)a 2∵ f ( c) 4[( c) 2c 1] 的对称轴方程是 c 1 .aaa a2c∈ (－ 2,－1)时，为减函数a2∴ |A 1B 1|2∈ (3,12), 故 |A 1B 1 |∈(3,2 3 ).10. .解： (1）由 log a tlog t y 得 log a t － 3=log t y － 3log t aa 3 a 3log a y 3 由 t=a x 知 x=log a t ，代入上式得 x － 3=,x x∴ log a y=x 2－ 3x+3，即 y=a x 2 3x 3 (x ≠ 0).(2)令 u=x 2－ 3x+3=( x － 3)2+ 3(x ≠ 0),则 y=a u2 4①若 0＜ a ＜ 1,要使 y=a u 有最小值 8，则 u=(x － 3) 2+ 3在 (0，2 ] 上应有最大值，但 u 在 (0， 2 ] 上不存在最大值 .2 4②若 a>1,要使 y=a u有最小值 8，则 u=(x － 3)2+3,x ∈ (0,2 ] 应有最小值243时， u mi n33∴当 x== mi n 424 ,y = a3由 a 4=8 得 a=16.∴所求 a=16,x= 3.211.解：∵ f(0)=1>0(1)当 m ＜0 时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意.(2）当 m>0 时，则 3 m解得 0＜ m ≤ 1m综上所述， m 的取值范围是 { m|m ≤ 1 且 m ≠ 0}.12.证明： (1) pf (m) p[ p( m ) 2 q( m ) r ]m 1 m 1m 1pm[ pm qr ] pm[pm p ] (m 1) 2 m 1 m ( m 1) 2 m 2m( m 2) (m 1) 2]p 2 m[ ( m 1) 2 ( m 2)pm 21,由于 f(x)是二次函数，故p ≠ 0,又 m>0, 所以， pf( m )＜ 0.( m 1) 2 (m 2)m1(2)由题意，得 f(0)= r ,f(1)= p+q+r①当 p ＜ 0 时，由 (1）知 f(m )＜ 0m 1若 r>0, 则 f(0)>0, 又 f(m)＜ 0,所以 f(x)=0m在(0，)内有解 ;m 1m 1若 r ≤ 0,则 f(1)= p+q+r=p+(m+1)=( －p rp r2 )+r =2 >0,m mmm又 f( m )＜ 0,所以 f(x)=0 在 ( m ,1)内有解 .m 1m1②当 p ＜ 0 时同理可证 .13..解： (1）设该厂的月获利为 y,依题意得y=(160 － 2x)x － (500+30x)=－ 2x 2+130 x －500由 y ≥ 1300 知－ 2x 2+130x － 500≥ 1300∴ x 2－ 65x+900≤ 0，∴ (x －20)( x －45)≤ 0，解得 20≤ x ≤45∴当月产量在 20~45 件之间时，月获利不少于1300 元.(2）由 (1）知 y=－ 2x2+130 x－500= － 2(x－65)2 + 2∵ x 为正整数，∴ x=32 或 33 时， y 取得最大值为1612 元，∴当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润1612 元 .14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为 0∈[－ 1， 1])．所以当－ 1≤x≤1 时，15. 解：由题意 f x x ax 2(b 1) x c .它的对称轴方程为x b 12a由方程 fxx 0 的两个根 x 1 , x 2 满足 0 x 1x 21, 可得b 11 b 1b1 a0 x 1x 2x 1 x 22a, 且2a,a2a∴ b 1x 1x 2 b 1 1 b 1 ，2a2aa2a即b x 1 ，而x 0 ba2a故 x 0x1.216. 解：设 g( x) f (x)x ax 2(b 1) x 1 ，则 g (x) 0 的二根为 x 1 和 x 2 .（ 1） 由 a0 及 x 12 x 24 ，可得g( 2) 0 ，g( 4)即4a 2b 1 0 ，16a 4b 3 03 3b30,2a 4a即b340,24a2a两式相加得b 1 ，所以， x 01 ;2a（ 2）由 (x 1x 2 )2( b 1) 24,可得2a 1(b 1) 21 .1aa又 x 1 x 20 ，所以 x 1 ,x 2 同号 .a∴x 12 ， x 2x 12 等价于0 x 1 2 x 2或x 2 2 x 1 0,2a 1(b 1) 21 2a 1 (b 1) 21g( 2) 0 g ( 2) 0即g(0) 0或 g (0)2a1 (b 1) 212a 1(b 1) 2 1解之得 b1 7或 b.4417. 证明： （I ）因为 f (0) 0, f (1) 0 ，所以 c 0,3a 2b c 0 .由条件 a b c 0 ，消去 b ，得a c 0 ；，消去 c，得由条件 a b c 0a b 0 ，2a b 0 .故 2 b1. a（ II ）抛物线f ( x) 3ax2 2bx c 的顶点坐标为 ( b , 3ac b2 ) ，3a 3a在 2 b11 1 b 2. a的两边乘以，得3a 333又因为 f (0) 0, f (1) 0,而 f ( b ) a2 c2 ac 0,3a 3a所以方程 f ( x) 0 在区间 (0,b) 与 (b,1) 内分别有一实根。