AB1
22 2
小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用
2 ， D 为CC1 中点．
（Ⅰ）求证： AB1 ⊥平面 A1BD ；
A
A1
（Ⅱ）求二面角 A A1D B 的大小；
（Ⅲ）求点C 到平面 A1BD 的距离．
C
C1
D
考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系B ，二面角的B1
大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维
能力和运算能力．
在正三棱柱中， A1到平面 BCC1B1 的距离为 3 ．
设点C 到平面 A1BD 的距离为 d ．
由 ，得 ， V V A1BCD
C A1BD
1 3
S△
BCD
3
1 3
S△ A1BD
d
． d 3S△BCD 2
S△ A1BD
2
点C 到平面 A1BD 的距离为
2．
2
解法二：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ．
在正方形 ABB1A1 中， AB1 ⊥ A1B ， AB1 ⊥平面 A1BD ．
（Ⅱ）设 AB1与 A1B 交于点 G ，在平面 A1BD 中，作 GF ⊥ A1D 于 F ，连结 AF ，
由（Ⅰ）得 AB1 ⊥平面 A1BD ．
AF ⊥ A1D ， ∠AFG 为二面角 A A1D B 的平面角．
立体几何新题型的解题技巧
1
③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算 空间向量数量积公式.
④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等 概念.
⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式. ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图. 空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平 面的距离，两异面直线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所 成的角，直线与平面所成的角，二面角等作为命题的重点内容，高考 试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小 问题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一 般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题. 不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步 骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.
立体几何新题型的解题技巧
3
在
△AA1D
中，由等面积法可求得
AF
4
5 5
，
又
AG
1 2
AB1
2，
sin∠AFG AG 2 AF 4 5
10 ．
4
5
所以二面角 A A1D B 的大小为 arcsin 10 ．
4
（Ⅲ） 中， ， ． △A1BD
BD A1D 5，A1B 2 2， S△A1BD 6 S△BCD 1
z
AB1 (1，2，
3)
，
BD
(2，1，0)
，
BA1
(1，2，3)
．
A
A1
AB1 BD
2
2
0
0
，
AB1 BA1
1
4
3
0
，
AB1
⊥
BD
，
AB1
⊥
BA1பைடு நூலகம்
．
AB1 ⊥平面 A1BD ．
F
C
C1
O
D
B
B1
y
x
（Ⅱ）设平面 A1AD 的法向量为 n (x，y，z) ．
立体几何新题型的解题技巧
4
AD (1，1，
3
)
，
AA1
(0，2，0)
．
， ，
n⊥ AD
n ⊥ AA1
nAD n AA1
0， 0，
2
x y
y 0，
3z 0， y 0， x 3z．
令 z 1得 n ( 3，0，1) 为平面 A1AD 的一个法向量．
由（Ⅰ）知 AB1 ⊥平面 A1BD ，
AB1
解答过程：解法一：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ． A
△ABC 为正三角形， AO ⊥ BC ．
正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1B1 ，
C
O
AO ⊥ 平面 BCC1B1 ．
B
A1
F
C1
D
B1
连结 B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D 分别为
BC，CC1 的中点， B1O ⊥ BD ， AB1 ⊥ BD ．
求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法， 二是利用空间向量。
【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于
立体几何新题型的解题技巧
2
确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.
典型例题
例 1（2007 年福建卷理）如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都为
立体几何新题型的解题技巧
立体几何新题型的解题技巧
【命题趋向】 在高考中立体几何命题有如下特点： 1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题 中综合出现． 3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现． 4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题 将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在 17---22 分之间，题型一般为 1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题. 【考点透视】 (A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距 离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、 直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角 的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (B)版. ①理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. ②了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空 间向量的坐标运算.
为平面
A1BD
的法向量．
cos
n
，
AB1
n AB1 n AB1
3 3 22 2
6．
4
二面角 A A1D B 的大小为 arccos
6．
4
（Ⅲ）由（Ⅱ），
AB1
为平面
A1BD
法向量，
BC (2，0，0)，AB1 (1，2，
3) ．
点 C 到平面 A1BD 的距离 d BCAB1 2 2 ．
△ABC 为正三角形， AO ⊥ BC ．
在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC1B1 ，
AD ⊥平面 BCC1B1 ．
取
B1C1
中点
O1
，以
O
为原点，
OB
，
OO1
，
OA
的方向为
x，y，z
轴的正方
向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0) ， D(1，1，0) ， A1(0，2，3) ， A(0，0，3) ， B1(1，2，0) ，