第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点1 点到平面的距离例1(2007年福建卷理)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. (Ⅰ)求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ)求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离. 考点2 异面直线的距离例3已知三棱锥ABC S -,底面是边长为24的正三角形,棱SC 的长为2,且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点,求CD 与SE 间的距离.考点3 直线到平面的距离例4.如图,在棱长为2的正方体1AC 中,G 是1AA 的中点,求BD 到平面11D GB 的距离.考点4 异面直线所成的角 例5(2007年北京卷文)如图,在Rt AOB △中,π6OAB ∠=,斜边4AB =.Rt AOC △可以通过Rt AOB△以直线AO 为轴旋转得到,且二面角B AO C --的直二面角.D 是AB 的中点. (I )求证:平面COD ⊥平面AOB ; (II )求异面直线AO 与CD 所成角的大小. 例6.(2006年广东卷)如图所示,AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD =8,BC 是⊙O 的直径,AB =AC =6,OE //AD .(Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小; (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.(2007年全国卷Ⅰ理)B A CD OG H1A1C 1D1B 1OQBCPADOMABC D1A1C1BOCADBE四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD .已知45ABC =∠,2AB =,22BC =,3SA SB ==.(Ⅰ)证明SA BC ⊥;(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小. 考点6 二面角例8.(2007年湖南卷文)如图,已知直二面角PQ αβ--,A PQ ∈,B α∈,C β∈,CA CB =,45BAP ∠=,直线CA 和平面α所成的角为30.(I )证明BC PQ ⊥; (II )求二面角B AC P --的大小.例9.( 2006年重庆卷)如图,在四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角,AB ‖CD ,AD =CD =2AB , E 、F 分别为PC 、CD 的中点.(Ⅰ)试证:CD ⊥平面BEF ;(Ⅱ)设P A =k ·AB ,且二面角E -BD -C 的平面角大于︒30,求k 的取值范围. 考点7 利用空间向量求空间距离和角 例10.(2007年江苏卷)如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体, 点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,且11AE FC ==. (1)求证:1E B F D ,,,四点共面;(2)若点G 在BC 上,23BG =,点M 在1BB 上,GM BF ⊥,垂足为H ,求证:EM ⊥平面11BCC B ;(3)用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小,求tan θ. 例11.(2006年全国Ⅰ卷)如图,l 1、l 2是互相垂直的两条异面直线,MN 是它们的公垂线段,点A 、B 在l 1上,C 在l 2上,AM =MB =MN (I )证明AC ⊥NB ;(II )若︒=∠60ACB ,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.考点8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断.例12 .如图(1),将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.N MBADBCSCAG HMDE F1B1A1D1C ABCQαβ P例13.如图左,在正三角形ABC 中,D 、E 、F 分别为各边的中点,G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点,将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥后,GH 与IJ 所成角的度数为()A 、90°B 、60°C 、45°D 、0°例14.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, ① 设对角线D 1B 与自D 1出发的三条棱分别成α、β、γ角 求证:cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ② 设D 1B 与自D 1出发的三个面成α、β、γ角,求证:cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例15.如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =2a ,BC =CA =AA 1=a , A 1在底面△ABC 上的射影O在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角;② 若O 恰好是AC 的中点,求此三棱柱的侧面积.例16.等边三角形ABC 的边长为4,M 、N 分别为AB 、AC 的中点,沿MN 将△AMN 折起,使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30°,则四棱锥A —MNCB 的体积为() A 、23B 、23C 、3D 、3例17.如图,四棱锥P —ABCD 中,底面是一个矩形,AB =3,AD =1,又P A ⊥AB ,P A =4,∠P AD =60° ① 求四棱锥的体积;② 求二面角P -BC -D 的大小.例18 .(2006年全国卷Ⅱ)已知圆O 1是半径为R 的球O 的一个小圆,且圆O 1的面积与球O 的表面积的比值为92,则线段OO 1与R 的比值为 . 【专题训练与高考预测】 一、选择题1.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在BB 1上,且BD =1,若AD 与侧面AA 1CC 1所成的角为α,则α的值为() A.3π B. 4π C. 410arctanD. 46arcsin1A1B 1C DB A CD E FG H I J(A 、B 、C ) D EFGHIJ A B CADA 1B 1C 1D 1 A 1B 1C 1AB C D OA BCMNK L CA2.直线a 与平面α成θ角,a 是平面α的斜线,b 是平面α内与a 异面的任意直线,则a 与b 所成的角()A. 最小值θ,最大值θπ-B. 最小值θ,最大值2πC. 最小值θ,无最大值D. 无最小值,最大值4π3.在一个︒45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成︒45角,则此直线与二面角的另一平面所成的角为()A. ︒30B. ︒45C.︒60D. ︒904.如图,直平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,︒=∠60BAD ,则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为() A.21B. 23C. 22D. 435.已知在ABC ∆中,AB =9,AC =15,︒=∠120BAC ,它所在平面外一点P 到ABC ∆三顶点的距离都是14,那么点P 到平面ABC ∆的距离为()A. 13B. 11C. 9D. 76.如图,在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点,则点B 到平面AMN 的距离是()A. 29B.3C. 556 D. 27.将︒=∠60QMN ,边长MN =a 的菱形MNPQ 沿对角线NQ 折成︒60的二面角,则MP 与NQ 间的距离等于( )A.a 23 B. a 43C. a 46D.a 43 8.二面角βα--l 的平面角为︒120,在α内,l AB ⊥于B ,AB =2,在β内,l CD ⊥于D ,CD =3,BD =1, M 是棱l 上的一个动点,则AM +CM 的最小值为( )A. 52B. 22C.26 D. 629.空间四点A 、B 、C 、D 中,每两点所连线段的长都等于a , 动点P 在线段AB 上, 动点Q 在线段CD 上,则P 与Q 的最短距离为( )A.a 21B.a 22 C. a 23 D.a B ACD D 1C 1B 1A 1ADB AD 1C 1B 1A 1M N10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为()A. a )62(+B.a 262+ C. a )31(+ D. a 231+ 11.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1A =AB =2,若棱AB 上存在点P ,使PC P D ⊥1,则棱AD 的长的取值范围是 ( )A. (]1,0B. (]2,0C. (]2,0D. (]2,112.将正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使点D 在平面ABC 外,则DB 与平面ABC 所成的角一定不等于()A. ︒30B. ︒45C.︒60 D. ︒90二、填空题1.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1的中点,则下列四个命题:① E 到平面ABC 1D 1的距离是21; ② 直线BC 与平面ABC 1D 1所成角等于︒45; ③ 空间四边形ABCD 1在正方体六个面内的射影围成面积最小值为21; ④ BE 与CD 1所成的角为1010arcsin2.如图,在四棱柱ABCD ---A 1B 1C 1D 1中,P 是A 1C 1上的动点,E 为CD 上的动点,四边形ABCD 满 足___________时,体积AEB P V -恒为定值(写上 你认为正确的一个答案即可)3.边长为1的等边三角形ABC 中,沿BC 边高线AD折起,使得折后二面角B -AD -C 为60°,则点A 到 BC 的距离为_________,点D 到平面ABC 的距离 为__________.4.在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50cm 的细绳,AM 、BN 、AB 的长度为60cm ,在MN 处挂长为60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为O ,若木条 绕过O 的铅垂线旋转60°,则木条比原来升高了 _________.5.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在α平面内.其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别是DCBAED 1A 1C 1B 1ABDCPEA 1D 1C 1B 11、2和4. P 是正方体其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是: ①3;②4;③5;④6;⑤7. 以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号..) 6. 如图,棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)O 1、O 2、O 3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_______m 3. 三、解答题1. 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,底面边长为a,D 为BC 为中点,M 在BB 1上,且BM=13B 1M ,又CM ⊥AC 1;(1) 求证:CM ⊥C 1D; (2) 求AA 1的长.2. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=2,PA ⊥底面ABCD ,E 是AD 的中点,F 在PC 上. (1) 求F 在何处时,EF ⊥平面PBC ;(2) 在(1)的条件下,EF 是不是PC 与AD 的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由;(3) 在(1)的条件下,求直线BD 与平面BEF 所成的角.3.如图,四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形,SD 垂直于底面ABCD ,SB=3. (1)求证BC ⊥SC ;(2)求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小;(3)设棱SA 的中点为M ,求异面直线DM 与SB 所成角的大小. 4.在直角梯形ABCD 中,∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=21AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC 折起,使D 到D '.记面AC D '为α,面ABC 为β.面BC D '为γ. (1)若二面角α-AC -β为直二面角(如图二),求二面角β-BC -γ的大小; (2)若二面角α-AC -β为60︒(如图三),求三棱锥D '-ABC 的体积.5.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 是线段EF 的中点.(1)求证AM //平面BDE ; (2)求二面角A -DF -B 的大小;(3)试在线段AC 上确定一点P ,使得PF 与BC 所成的角是60︒.•O 1 •O 2•O 3。