X 2
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
150
1 [8.471010 1.90108 ]
1
9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
Poisson分布 （Poisson Distribution）
Siméon-Denis Poisson
二项分布的定义

总体阳性率 样本含量 n 在总体率为 的总体中随机抽样，抽取样本含量 为n的样本，有X例为阳性的概率：
P( X ) CnX X (1 ) n X
称X服从二项分布，记为：X～B(n,)
n! C X !(n X )!
X n
n! n( n 1 )( n 2 )1


Poisson分布（Poisson Distribution） 正态分布（Normal Distribution）
二项分布 （Binomial Distribution)
二项分布
0.20 1 0.80
n3
X
0
概率
0.8×0.8×0.8 0.2×0.8×0.8 0.8×0.2×0.8 0.8×0.8×0.2
150 ! P(10) 0.1310 0.87140 0.0055 10!(150 10)!
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
二项分布累计概率计算

二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为：
P( X k ) P( X ) p(0) p(1) ... p(k )
Poisson分布的定义
可以证明： 很小，n很大时，单位（面积、容 积、时间等）内某稀有事件发生数X的概率
P( X ) CnX X (1 ) n X
P( X ) e
X
X!
n
称X服从Poisson分布，记作X～Poisson（ ） X＝0，1，2，……。
21 June 1781 (Pitviers) - 25 Apr 1840 (Paris)
很小，n很大，
总体
0.0001 0.9999
X为单位（面积、容积、时间 等）内某稀有事件发生数。
10万（单位人口）人中某恶性 肿瘤的发生数；
1ml（单位体积）水中大肠杆菌 数；
1h（单位时间）内放射物质的 放射次数； 显微镜中1个视野（单位面积） 内血细胞的计数； 1cm3（单位体积）空气中粉尘 的计数； ……



二项分布的均数和标准差

如果每次试验出现阳性结果的概率均为π，进行n 次独立重复试验，出现X次阳性结果，则X的 总体均数： 总体方差：
X n n 1
2 X X
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
总体标准差：
0.512
1
1 C3 0.21 (1 0.2) 2
0.384
2
P( X ) CnX X (1 ) n X
C 0.2 (1 0.2)
2 3 2
1
3
0.096 3 C3 0.23 (1 0.2) 0 0.008
0
1
2
3
0.512 0.384 0.096 0.008 (0.2 0.8)3 1
Poisson分布的应用条件

观察结果是二分类变量，如阳性与阴性、治愈与 未愈、生存与死亡等； 每个观察对象发生阳性结果的概率为，发生阴性 结果的概率为1－ ； 各个观察对象的结果是相互独立的； 接近0或1。



某地20年间共出生肢短畸形儿10名，现随机抽取1年， 这1年中出生肢短畸形儿的人数为X，则X分别为0，1， 2，……的概率为？
n 总体标准差： (1 ) p n
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x

实例：已知钩虫感染率为6.7%，如果随机 抽查某地150人，记样本钩虫感染率为p ， 求 p 的标准差（抽样误差） p 。
p
(1 )
n
0.067(1 0.067) 0.96
P( X 4) P( X ) p(0) p(1) p(2) p(3) p(4)
X 0 4
e 0.96 0.960 e 0.96 0.961 e 0.96 0.962 e 0.96 0.963 e 0.96 0.964 0! 1! 2! 3! 4! 0.997
二项分布的应用条件

观察结果是二分类变量，如阳性与阴性、治愈与未 愈、生存与死亡等； 每个观察对象发生阳性结果的概率为，发生阴性 结果的概率为1－ ； 各个观察对象的结果是相互独立的。


二项分布的图形（见pdf.sas）
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X 0
k

P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2
出现阳性的次数至少为k次的概率为：
P( X k ) P( X ) 1 p( X k 1)
X k
n
或p(k ) p(k 1) ... p(n)
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
X 0 X 0
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
X
X!
至少为k次的概率为：
P( X k ) 1 P( X )
X 0
k 1
或p(k ) p(k 1) ... p(n)
λ =3
x

例4-8：如果某地新生儿先天性心脏病的发病概率 为8‰，那么该地120名新生儿中至多有4人患先天 性心脏病的概率有多大？
P( X ) e
X
X!
表4-2 某地每年出生肢短畸形儿概率分布
X P（X）
0 0.607
1 0.303
2 0.076
3 0.013
4 0.002
5 0.000
表4-2 某地每年出生肢短畸形儿概率分布
X P（X）
P(X)
0 0.607
1 0.303
2 0.076
3 0.013
4 0.002
n 120 0.008 0.96
P( X 4) e
X
e 0.96 0.964 0.014 X! 4!
λ =3
x
Poisson分布累计概率
如果稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么该稀 有事件发生次数X至多为k次的概率为 ：
k k
P( X k ) P( X ) e
n 1
9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
二项分布的均数和标准差

X 如果出现阳性结果的频率为 p ，则p的 n
总体均数： 总体方差：
p
p
2
(1 )
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5
λ =1
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x
P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 0
18 20 22
0 2 4 6
λ =3
x
8
10
12
14
16
18
20
22
λ =6
x
λ =10
x
Poisson分布的图形特征

离散型分布 Poisson分布的图形与 有关。 愈小，分布 愈偏，随着 增大，分布趋于对称。
x
9 10 11 12 13 14 15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
n=20,π =0.3
x
图4-2 π=0.3时, 不同n值对应的二项分布
二项分布的图形
图4-1 π=0.5时,不同n值对应的二项分布
二项分布的图形特征

离散型分布
二项分布图的形态取决于n与，高峰在=n处 当接近0.5时，图形对称；离0.5愈远，对称性愈差， 但随着n的增大，分布趋于对称。 当n→∞时，只要不太靠近0或1， 二项分布近似于正 态分布。
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n=3,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
n=6,π =0.3
P(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
10
1.9010 2.1110
8
7
2.31107
9 10 11 12 13 14 15
n=10,π =0.3
x
例4-6：某地钩虫感染率为13%，随机抽查当地150人，其中至少 有2名感染钩虫的概率有多大？
P( X 2) P( X ) 1 [ p(0) p(1)]
二项分布概率估计

例4-5 ：如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当 地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？