2
2.4 一般周期激励的强迫振动
前面几节所讨论的强迫振动中，都假设了系统激励为简谐激励， 但在实际工程问题中，简谐激励（干扰力）作用下的强迫振动是比较 少的，大多数是一些非简谐的一般周期性干扰力。比如汽车试验场中 作耐久性试验的路面搓板路、扭曲路等就是非简谐的周期路面不平激 励。而内燃机燃烧发出压力作功的过程也会产生周期激励。
对 得:
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cx kx (t ) mx
0 0
0 从0 到 进行积分

cx kx dt = mx
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0
0
(t )dt
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2.5 任意激励下的响应
考虑到在趋于零的时间间隔内，系统的位移 x 来不及变化， 即 x(0+ )=0 ，故上式左边各项积分为：
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2.4 一般周期激励的强迫振动
2018/3/13
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2.5 任意激励下的响应
定义 对振动系统的作用既不是简谐的，也不是周期性的， 而是任意的时间函数。 对于汽车系统来说，经常受到任意激励的作用。如汽 车离合器结合过程引起的传动系的扭振，汽车换挡过程中 的齿轮冲击，汽车遇到凹凸路面引起的颠簸，都是任意激 励引起的振动。 本节主要介绍已知任意激励时，求系统响应的三种 方法：杜哈美积分法、傅氏积分法、拉氏变换法。
Henan University Of Science And Technology
《汽车振动分析》
第二章
2.4、2.5讲解课件
2018/3/13
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第二章 单自由度系统的振动
教学内容
• 2.4 一般性周期激励的强迫振动
• 2.5
任意激励下的响应
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系统的运动微分方程为：
a0 cx kx (an cos not bn sin not ) mx 2 n1
系统的稳态响应为：
a0 an cos(not n ) bn sin(not n ) x(t ) 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
F1 (t )
线性系统
则
x1 (t )
F2 (t )
线性系统
c1x1 (t ) c2 x2 (t )
x2 (t )
c1F1 (t ) c2 F2 (t )
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线性系统
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2.4 一般周期激励的强迫振动
傅里叶变换
周期函数 f (t ) 可展开成傅里叶级数，即可分解为 无穷个谐波函数之和，即无限多个正弦函数和余弦 函数的和。 a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
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2.4 一般周期激励的强迫振动
其中
k c n m 2n m 2 no / n n arctan 1 (no / n ) 2
当阻尼不计时，稳态响应为：
a0 an cos not bn sin not x(t ) 2k n1 k[1 (no / n ) 2 ]
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2.4 一般周期激励的强迫振动
例题：一个弹簧-质量单自由度振系，受到一个力幅 为 P 的矩形波周期函数的激励作用
0
P(t) P0
周期为
T
-P0 T
t
n 是系统的固有频率 0 是系统的基频
求：系统的稳态强迫振动响应
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2.5 任意激励下的响应
杜哈美积分法 亦称为卷积积分法，将激励视为非常短的脉冲的叠 加，把任意激励分解为一系列脉冲的连续作用，分 别求系统对每个脉冲的响应，利用叠加原理，求得 系统对任意激励的总响应。
定义： 设有两个 函数
f1 (t )、f 2 (t )
式中
2 T a0 T f (t )dt 2 T an f (t ) cos notdt T 2 T bn T f (t ) sin notdt
o 2 / T
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为基频，T为 f (t ) 周期
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2.4 一般周期激励的强迫振动
解： 周期矩形波激励的基频： 周期矩 Nhomakorabea波可以分解为：
a0 P(t ) (an cos not bn sin not ) 2 n 1
2 o T
其中
2 T 0 a0 T P (t )dt 2 T an P (t ) cos notdt 0 T 2 T bn T P (t ) sin notd
(t a)
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也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲
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2.5 任意激励下的响应
δ 函数的性质:



f (t ) (t a)dt f (a)
特别地，当时刻 a = 0 时，有 ： 实际应用时，通常 f (t) 在 因而有： 冲量为
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2.5 任意激励下的响应
单位脉冲响应函数
处于零初始条件的系统对单位脉冲力的响应，称为单
位脉冲响应，或简称脉冲响应。
0 分别为单位脉冲力作用瞬间的前后时刻，系 记 0 、 统的运动微分方程与初始条件可合写为：


cx kx (t ) mx + + x (0 ) 0, x (0 )0
根据稳态响应的全解公式：
a0 a cos(not n ) bn sin( not n ) x(t ) n 2k n 1 k [1 (no / n ) 2 ]2 (2 no / n ) 2
4 P0
得到该系统在周期激振力作用下的稳态响应：
4P0 x(t ) k
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2.4 一般周期激励的强迫振动
系统在一般周期激励下的总响应： 假设系统受到的周期激振力为 f (t ) f (T t ) 其中T为周期，基频 o 2 ，通过傅里叶变换和谐波分 T 析法：
a0 f (t ) (an cos not bn sin not ) 2 n1
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前两项积分 项均为奇函 数，因而积 分均为0
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2.4 一般周期激励的强迫振动
P(t ) bn sin not
n 1
2 T bn P(t ) sin notdt T
2 T 2 T 2 bn P0 sin notdt T P0 sin notdt T 0 T 2
0 0


0
0
cdx cx cxdt
0
0 0
0 0
0
0
0
kxdt 0 cdx cx
0
0

即 于是
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0

0
kxdt 0

0
0
1 mxdt
mx(0 ) mx(0 ) 1
1 (0 ) x m
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2.4 一般周期激励的强迫振动
谐波分析法 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列 不同频率的简谐激励，然后求出系统对各个频率 的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理， 将各个响应逐一叠加，即得到系统对周期激励的 总响应。 这种对系统响应的分析方法称为谐波分析法。
(t a) 0
(t a) (t a)
(t )
1 0
且



(t )dt 1

t
(t ) 的图象用位于时刻τ、长度为 1 的有向线段表示。
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2.5 任意激励下的响应
δ函数： (t a) 0 (t a) (t a)
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2.4 一般周期激励的强迫振动
叠加原理
图3
振动系统框图
对于一般的振动问题，可以用图3所示的框图来说明。图中振动系统是指 所研究的振动对象，例如，汽车、各种机器或机床、工程结构或某些零部 件等。输入或激励表示初始干扰和激振力等外界因素对系统的作用。输出 或响应表示在输入或外激励作用下所产生的动态响应。 线性振动系统适用叠加原理 若
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4 P0
2.4 一般周期激励的强迫振动 系统的运动微分方程为： mx cx kx P(t )
1 1 cx kx (sin ot sin ot sin 5ot ) 即：mx 3 5
T 2 P0 T 2 0 sin notdt T sin notdt T 2
2 P0 2 2 cos n T no no
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2.4 一般周期激励的强迫振动
2 P0 2 2 cos n 对于 bn T no no
图1 卵石路
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图2 搓板路