20
同样很难满足初始条件，由叠加原理得

u(x,t) un (x,t)
n1


[ An
n1
cos
(2n
1)at
2l

Bn
sin
(2n
1)at
2l
]sin
(2n
1)x
2l
此时要满足初始条件，有



0
x2 2lx
(2n
n1

n1
C1 C2 0
X (l) C1e l C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
18
(2) 0
X( x) C1x C2 X (0) C2 0 X (l) C1 0
同样只有零解，不合题意；
C1 C2 0
泛定方程： utt a2uxx 0
(0 x l,t 0)
边界条件： u( x, t ) x0 0 u( x, t ) xl 0（第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 ( x) ut t0 ( x)
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
(3)当r1、2 i时，y(x) ex (c1 cos x c 2 sin x)
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与 λ的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x
X(0) 0
C1 C2 0
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l) C2 cos l 0
cos l 0
则n

(2n 1)2
4l 2
2
,
(n 1,2,...)
19
则特征解为
X
(
x)

C2
s
in
(2n
a2T(t) X ( x)
T '' a2T 0
X
''

X

0
17
此时边界条件为： X (0) X (l) 0
相应的特征值 X (x) X (x) 0
问题为：

X (0)
X (l) 0
(1) 0
X ( x) C1e x C2e x X (0) C1 C2 0
X(0) 0
X(l) 0
C1 0 C2 sin l 0
非零解 C2 0
sin l 0
n2 2
l2
n 1,2,3
则X（x）的一族非零解为
n x
X ( x) C2 sin l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为
固有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
6、 分离变量法概要：
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件） （3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
An
sin
(2n
1)x
2l
1)a
(2n 1)x
2l Bn sin 2l
21
由傅里叶正弦级数展开式系数公式可求出


An
2 l
l (x2 2lx) sin (2n 1)
0
2l
xdx


32l 2
(2n 1)3
3

Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t )
X(l) 0
C1e l C2e l 0
C1 C2 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X( x) C1x C2 C2 0
C1l C2 0
同样只有零解，不合题意；
C1 C2 0
8
(3) 0
X(x) C1 cos x C2 sin x
n1


( An
n 1
cos
nat
l

Bn
sin
nat ) sin
l
nx
l
11
此时要满足初始条件，则





(
(x)

x)
n1

An sin
n1
na
l

Bn

nx
l
sin nx
l
故An和Bn

na
l
分别为(
x)和
(
x)的傅里叶正弦级数展开

R(0)
欧拉方程
30
第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程
0 ( ) ( 2 )
nn
n2
( )
an
cos
n

bn
sin
n

n 0,1, 2,
2R R R 0


X
|x0
X
|xl

0
若有二阶常系数线性齐次方程
y" py'qy 0 其中p、q为常数，则特征方程为 r 2 pr q 0
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y(x) c1er1x c 2 er2x
(2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y(x) (c1 c 2 x)erx
l
a2n2 2t
则T (t) De l2
此时非零特解为un(x,t)
Ae
a
2n2
l2
2t
sin
nx
l
(n 1,2,...)
此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为
u(x,t)
n1
A e
a
2
n2 l2
2t
n
sin
nx
l
25
由初始条件有
( x)


32l
3
2
n1
1 (2n 1)3
cos (2n 1)a t
2l
sin
( 2n 1)π 2l
x
22
2.2 有限长杆上的热传导

u t u(0,
a t)
2 2u ,0 x l, t 0 x 2 0,u(l,t) 0,t 0

u(x,0) (x),0 x l
2u x 2

2u y 2

0
u x2 y2 02 (x, y)
(x2 y2 02 )
因为边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是 不可直接分离的，故化为极坐标求解。
27
x r cos

y

r
sin
2u

1



(
u

)

1
2
u(0, ) f
2u
2

0,

0 , 0
( ), 0 2


2

u(0, )

u(, ) u(, 2 )
28
第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原
点约束条件的变量分离形式的解
u(, ) R()( )
1)x
2l
将特征值代入T（t）的方程，解出
T (t) Acos (2n 1)at B sin (2n 1)at
2l
2l
则u（x，t）的特解族为
(2n 1)at
(2n 1)at (2n 1)x
un (x,t) ( An cos
2l
Bn sin
2l
) sin 2l
解：设u(x,t) X (x)T (t)
代入方程有 X (x)T '(t) a2 X "(x)T (t)
23
分离变量后有
X"(x) X(x)
T '(t) a2T (t)

即TX' (t()x)
X ( 2a2T
x) 0 (t) 0
由边界条件有 X (0) X (l) 0
解： 由前面思路，设
u(x, t) X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t) X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， XT '' a2 X ''T 0
（求非零解）
分离过程： T ''(t) X ''( x) 是相互独立的变量
T '' a2T 0
得出两个常微分方程：
X '' X 0
代入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T(t) 0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
经
X (x) X (x) 0