由初始条件：
u t 0 ( x)

n 1

nx An sin ( x), l
l
2 n A ( ) sin d ; Fourier展开式的系数： n l l 0
ut
t 0 ( x)

n 1

na nx Bn sin ( x). l l
nat nat nx Bn sin ) sin . l l l
l
2 n 2 n B ( ) sin d . A ( ) sin d ; n 初值确定叠加系数： n l n a l l 0 0
由分离变量，波动方程（偏微分方程）变为常微分方程组：
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
T ' 'a 2T 0;
(A).
X ' ' X 0; 的解：
X ' 'X 0;
X (0) 0 和 X (l ) 0.
对于某些 值，方程的解存在，则称 相应的X(x)的解为固有函数。
对于方程 C2 sin l 0，因为X(x)不恒等于零。

超越方程
C2 0 只有 sin l 0
2 2 n l2
n 1,2,3
n x X n ( x) C2 sin l
C2是积分常数
：固有值
nx l
X ' 'X 0;
本征值方程
n 2 2 2 l
-1
将U=X(x)T(t)代入波动方程：
XT ' 'a X ' ' T 0
2
XT ' 'a X ' ' T 0
2

T '' X '' 2 aT X
将U=X(x)T(t)代入边界条件：
X (0)T (t ) 0
和
X (l )T (t ) 0
T(t)为任意值，要使上式成立，则：
一、典型数理方程
1、弦振动方程
2 u ( x, t ) 2 2 a u 2 t
2、热传方程 3、Laplace方程
u 2 2 a u f x, y , z , t t
( )u f ( x, y, z )
许多物理力学问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。
u ( x, t ) c (t ) sin x
注：u(x,t)中含变量x的函数与含t的函数的乘积，有变量分离 的形式
1
波腹
0.5
每一点绕平衡位置振动 T (t ) 振幅随位置变化 X ( x) 驻波解： u( x, t ) X ( x)T (t ) 这是解的分离变量
波节
2.5 -0.5 5 7.5 10 12.5 15
第二章 分离变量法
怎么求解？
建立方程及相应的定解条件，利用几种基本的方法。 偏微分方程 转化 常微分方程
2.1 有界弦的自由振动
2 （泛定方程）波动方程： u a uxx 0 A tt
边界条件： u( x, t ) x0 0 初始条件：
u t 0 ( x)
u( x, t ) xl 0

的值为固有值。
对于 分三种情况加以讨论：
(1)
0
X ' 'X 0
X (0) 0

X ( x) C1e
C1 C2 0
x
C2e
x

X (l ) 0

C1e
l
C2e
l
0

C1 C2 0
X x 0
(2) 0
l
2 n Fourier展开式的系数： Bn ( ) sin d . na 0 l
小结
分离变量：u( x, t ) X ( x)T (t ) 边值确定本征值函数：
un ( x, t ) ( An cos
l
XT ' 'a 2 X ' ' T 0
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0
T ' 'a 2T 0;
A、B 是积分常数。
n at n at n x un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l
n 1,2,3
An=A*C2是积分常数合并, 线性齐次， 可采用叠加原理
C.
u( x, t )
n 1

n at n at n x ( An cos Bn sin )sin . l l l
ut
t 0
( x).
定解问题的特点： 偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求 解此类问题可以采用叠加原理。 定解问题的方法：
找出偏微分方程满足边界条件的多个特解，再利用它 们的线性组合，使满足初始条件。
对于确定的频率，振动过程中有不动的节点，这类振动波 为驻波：
1 1 0.5 0.5
X ( x) C1 x C2
X (0) 0 X (l ) 0

C2 0
C1 C2 0

X x 0
(3) 0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) 0
X (l ) 0.
C1 0
C2 sin l 0
X ( x) C2 sin
：特征函数(固有函数)
B.

n 2 2 2 l
：固有值代入T的方程
X ' 'X 0;
X (0) 0
和
X (l ) 0.
n 2 2 a 2 T ' ' T 0; 2 l
n at n at Tn (t ) A cos B sin , l l
X (0) 0
和
X (l ) 0
Clearly
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
x, t 是相互独立的变量，这个方程的两边互不统属，而各自 独立变化。故比值只能为一常数！
T ' ' (t ) X ' ' ( x) 2 a T (t ) X ( x)
3
4
5
6
7
8
4
6
8
-0.5
-0.5
-1
-1
x0
xl
x0
xl
自由
1 0.5
自由
自由
1 0.5
固定
2 -0.5
4
6
8
2.5 -0.5
5
7.5
10
12.5
15
-1
-1
x0
xl
x0
xl
固定
自由
固定
固定
振动过程中不动的点称为节点。 振动过程中驻波的振幅达到最大值，称为腹点。
为求定解问题，选择物理模型：乐器发出的声音可以分解 为不同频率的单音，每种单音振动时为正弦曲线，其振幅不依 赖时间