Tn
(t)
=
Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat l
，
从而得到变量分离状态的解，称之为驻波：
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
(Cn
cos
nπat l
+
Dn
sin
nπat )sin l
nπx l
.
从这里可以看出，为什么我们在本征函数 X n (x) 把 D 取成 1 呢？事
实上是不失一般性的，无非是将 D 并入系数 Cn , Dn 中而已. 现在要求满足初始条件的解，一般而言，这可列个驻波解并不满
相应的本征函数为
X
n
(x)
=
sin
μn l
x
,
(n = 1,2,3,...)
（3）把本征值 λn
=
(μn l
)2 代入关于
T(t)的常微分方程中有
得解 就有
Tn′(t)
+
(
μn l
a
)
2
Tn
(t)
=
0,
(n = 1,2,3...)
−( μna )2 t
Tn (t) = Cne l ,
(n = 1,2,3...) ，
(x)
=
+∞ n =1
nπa l
Dn
sin
nπx l
所以
∫ Dn
=
2 nπa
l
ψ (ξ ) sin
0
nπξ l
dξ ,
因此分离变量法又叫傅立叶解法.
n = 1,2,3...
分离变量法是将偏微分方程与边界条件要分离变量，所以方程
与边界条件都应是齐次的.在求解过程中会得到施斗姆-刘维尔本征
值问题，由此确定可列个本征值与相应的本征函数系，这是分离变量
- 10 -
因此这里本征值问题的提法是求方程Θ′′(θ ) + λΘ(θ ) = 0 的以 2π 为
r 2 R′′(r) + rR′(r) − λR(r) = 0 Θ′′(θ ) + λΘ(θ ) = 0
这里，由于是圆形区域，当角度θ 从θ 变到θ + 2π 时，单值函数 u(r,θ )
应该满足周期条件 u(r,θ + 2π ) = u(r,θ ) ，由此得到
Θ(θ + 2π ) =Θ(θ ) .
T ′′(t) = X ′′(x) ， a 2T (t) X (x)
这是一个恒等式，左边仅是 t 的函数，右边仅是 x 的函数，而 x,t 是 两个无关的独立变量，所以这个等式只能是常数，记为 − λ ，于是有
T ′′(t) = X ′′(x) = −λ ， a 2T (t) X (x)
从而得到两个常微分方程：
X (x) = C cos λ x + D sin λ x
由 X (0) = 0 得 C=0；由 X (l) = 0 得关于 λ 的方程
D sin λl = 0
由于求问题的非零解，所以 D ≠ 0 .只有 sin λl = 0 ，从而得到问题
的可列个本征值：
λn
=
nπ l
, (n = 1,2,3,...)
由初始条件得
∑ ∑ ϕ(x,
y)
=
+∞ n=1
+∞
C nm
m=0
sin
nπx sin a
(m
+ 1)πy 2 b
从而得
∫ ∫ Cnm
=
4 ab
a 0
b
ϕ(ξ ,η) sin
0
nπξ a
sin
(m + 1 )πη 2 b
dξdη
.
例 3. （圆的狄里克雷问题）设有一个半径为 a 的无限长圆柱，
把它的对称轴取做 z 轴，假设在柱的表面上温度不随时间 t 而改变，
法的核心问题.
例 1. 长为 l 的均匀细杆，侧面是绝热的，杆的 x = 0 端保持为零 度，另一端 x = l 按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒
为零度，已知杆的初始温度分布是ϕ(x) ，求杆上的温度 u(x,t) .
这个问题归结为下列的混合问题：
-4-
⎪⎪⎨⎧uut((0x,,tt))==0a, 2uxx ⎪
-1-
T ′′(t) + λa 2T (t) = 0, , X ′′(x) + λX (x) = 0 对齐次边界条件也有, X (0)T (0) = 0, X (l)T (t) = 0 ,
由于求非零解，所以T (t) ≠ 0 ，只有， X (0) = 0, X (l) = 0 ，由此就得
到关于 X(x)的施斗姆-刘维尔本征值问题：
=
+∞
−( μna )2 t
Cne l
n=1
sin
μnx l
.
§2.4.2 二维矩形薄板的齐次方程齐次边界条件
混合问题的分离变量法
例 2．边长为 a, b 的矩形薄板，两板面不透热，它的一边 y=b
为绝热，其余三边保持零度温度.设板的初始温度分布是ϕ(x, y) ，试
求板内的温度变化.
解：以 u(x, y,t) 为此矩形板内点(x,y)处时刻 t 的温度，这时此
un (x,t)
=
X n (x)Tn (t)
=
−( μna )2 t
Cne l
sin
μn x l
（4）为了得到满足初始条件的解 u(x,t) ，将可列个 un (x,t) 叠
加，有
∑ u( x, t )
=
+∞
−( μna )2 t
Cne l
n=1
sin
μnx l
.
∑ 由初始条件，有
ϕ(x)
=
+∞
Cn
（1）设解为
u(x, y,t) = X (x)Y ( y)T (t)
代入齐次方程中，分离变量后有
T ′(t) = X ′′(x) + Y ′′( y) a 2T (t) X (x) Y ( y)
-7-
由于 x，y，t 都是独立变量，所以令
X ′′(x) = −λ ， Y ′′( y) = −μ
X (x)
unm (x, y, t) = X n (x)Ym ( y)Tnm (t)
对 n，m 叠加，有
∑ ∑ u(x,
y,t)
=
C e +∞ +∞
⎡
⎢
−
⎢ ⎢
(
⎢
⎢⎣
n a
)2
⎜⎛ +⎜
⎜ ⎜⎝
m+ b
1 2
⎟⎞2 ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
a
2π
2t
nm
n=1 m=0
sin
nπx sin a
(m + 1)πy 2 b
与
⎧ Y ′′( y) + μY ( y) = 0 ⎩⎨Y (0) = 0, Y ′(b) = 0
（2）解上述两个本征值问题，容易得到它的本征值和相应的本征
函数系.
λn
=
( nπ a
)2,
X
n
(x)
=
sin
nπx a
,
(n = 1,2,3,...)
⎜⎛ (m + 1 )π ⎟⎞2
μm
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 ⎟, b ⎟⎟⎠
T ′(t) + λa2T (t) = 0 ; （2）解本征值问题
由方程得 X (x) = C cos λ x + D sin λ x ,
由 X (0) = 0 得 C=0；由 X ′(l) + hX (l) = 0 得
D( λ cos λl + h sin λl) = 0 ,
为了得到非零解， D ≠ 0 ，得到关于 λ 的超越方程： tan λl = − λ , h
温度表示为边界条件：
u(a,θ ) = ϕ(θ )
于是得到边值问题：
⎪⎨⎧urr
+
1 r
ur
+
1 r2
uθθ
= 0,
(0 ≤ r ≤ a,0 ≤ θ ≤ 2π )
⎪⎩ u(a,θ ) = ϕ(θ )
(0 ≤ θ ≤ 2π )
用分离变量法解此问题.
设 u(r,θ ) = R(r)Θ(θ ) ，代入方程，分离变量得
混合问题为：
⎧ ⎪
ut
(x,
y, t)
=
a 2[uxx (x,
y,t)
+
u yy
(x,
y, t )], (0
≤
x
≤
a,0
≤
y
≤
b)
⎪⎩⎨uux
=0 t=0
= 0, =ϕ
(
u x,
x
y
=a
)
= 0,
u = 0, y=0
u y y=b = 0,
这是一个齐次方程、齐次边界条件的问题，可设有变量分离形式的解.
且与 z 坐标无关.则过了一段时间后，在圆柱的每一点处，温度也会
稳定下来与 t 无关，这时圆柱体内的温度 u = u(x, y) 就满足二维拉普
拉斯方程
Δu ≡ u xx + u yy = 0 .
圆柱表面的温度 u(x, y) x2 + y2 =a = ϕ ，求此问题的解. 这个问题通常称为圆的狄里克雷问题.
(m + 1)πy
Ym ( y) = sin
2, b
(m = 0,1,2,...)