∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 变式题:等差数列{an}中,首项a1>０,S3 = S11, 问:这个数列的前几项的和最大？
解: 由S3=S11得 d<0,则d/2＜0
则Sn的图象开口向下,如图 Sn 所示 又S3=S11
解法2 由S3=S11得 d=－2<0
则Sn的图象如图所示
Sn
又S3=S11
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
等差数列的前n项的最值问题
例1 已知等差数列5,
42, 7
34, 7
L 的前n项和为Sn，求使
得Sn最大的序号n的பைடு நூலகம்.
分析:等差数列的前n项和公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
Sn可以看成关于n的函数,即在二次函数
y
d 2
x2
(a1
d )x 2
的自变量 x 取正整数时的函数值.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
得
n n
15 2 13 2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法4 由S3=S11得
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
解:由题意知:等差数列的首项a1=5,公差为
5
d
7
所以
Sn
5n
n(n 1) 2
(
5) 7
5 n2 75 n
配方
14 14
5 (n 15)2 1125
14 2 56
所以,当n取与7.5最近的整数即7或8时,Sn取最大值.
求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:
方法1:由Sn
d 2
313 1 3 2 d 1113 1 1110 d
2
2
∴ d=－2
1 Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
n2
(a1
d )n利用二次函 2
数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法二:求出an, 用单调性
当d 0时,Sn有最小值; 当d 0时,Sn有最大值.
一、Sn An2 Bn,配方，看对称轴
二、a1 若a1 0, d
00,,d则数 列0,的S前n有面若最干项大an值 0,aann100
所以图象的对称轴为
n 3 11 7 2
n
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
(0 a1 a2 a3 L an an1 L )
(2)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L )
等差数列的前n项的最值问题
例.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得
所以将这些项相加即得Sn的最大值;
（a1 a2 a3 L an 0 an1 L ）
a1
若a1 0,
0,
d
d 0, Sn有最小值
0,则数列的前面若干项an 0,
aann100
所以将这些项相加即得Sn的最小值;
（a1 a2 a3 L an 0 a n1 L ）
两个特例 (1)若a1 0, d 0,则a1是Sn的最大值.