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等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导:(1) Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成Sn=an+an-1+......a2+a1两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)=n(a1+an)所以Sn=[n (a1+an )]/2 (公式一)(2)如果已知等差数列的首项为a1,公差为d ,项数为n ,则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得Sn=na1+ [n(n+1)d]/2(公式二)二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】 等差数列前10项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.解 依题意,得10a d =140a a a a a =5a 20d =1251135791++++++101012()-⎧⎨⎪⎩⎪ 解得a 1=113,d=-22.∴ 其通项公式为a n =113+(n -1)·(-22)=-22n +135∴a 6=-22×6+135=3说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ,再求其他的.这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出a n而直接去求,所列方程组化简后可得++相减即得+,a2a9d=28a4d=25a5d=3 6111⎧⎨⎩即a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提.【例2】在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197中,求它们相同项的和.解由已知,第一个数列的通项为a n=3n-1;第二个数列的通项为b N=5N-3若a m=b N,则有3n-1=5N-3即=+ n N 213 () N-若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数).又2≤5N-3≤197,即1≤N≤40,所以N=1,4,7,…,40 n=1,6,11,…,66∴两数列相同项的和为2+17+32+…+197=1393【例3】选择题:实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为[ ]A .1,3,5B .1,3,7C .1,3,99D .1,3,9解 C 2b =a 5a b =3a 由题设+⇒又∵ 14=5a +3b ,∴ a =1,b =3∴首项为1,公差为2又+∴+·∴=S =na d 2500=n 2 n 50n 1n n n n ()()--1212 ∴a 50=c=1+(50-1)·2=99∴ a =1,b =3,c =99【例4】 在1和2之间插入2n 个数,组成首项为1、末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13,求插入的数的个数.解 依题意2=1+(2n +2-1)d①前半部分的和=++②后半部分的和′=+·+·-③S (n 1) d S (n 1)2(d)n+1n+1()()n n n n ++1212由已知,有′化简,得解之,得④S S n nd n nd nd nd n n ++=+++-=+-=111121229131222913()()()() nd =511 由①,有(2n +1)d=1⑤由④,⑤,解得,d =111n =5 ∴ 共插入10个数.【例5】 在等差数列{a n }中,设前m 项和为S m ,前n 项和为S n ,且S m =S n ,m ≠n ,求S m+n .解 S (m n)a (m n)(m n 1)d (m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵=++++-=+++-1212且S m =S n ,m ≠n∴+-=+-整理得-+-+-ma m(m 1)d na n(n 1)d (m n)a (m n)(m n 1)=011112122d 即-++-由≠,知++-=(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212∴S m+n =0【例6】 已知等差数列{a n }中,S 3=21,S 6=64,求数列{|a n |}的前n 项和T n .分析 n S =na d a n 11等差数列前项和+,含有两个未知数,n n ()-12d ,已知S 3和S 6的值,解方程组可得a 1与d ,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出T n 来.解 d S na d 3a 3d =21ba 15d =24n 111设公差为,由公式=+得++n n ()-⎧⎨⎩12 解方程组得:d =-2,a 1=9∴a n =9+(n -1)(n -2)=-2n +11由=-+>得<,故数列的前项为正,a 2n 110 n =5.5{a }5n n 112其余各项为负.数列{a n }的前n 项和为:S 9n (2)=n 10n n 2=+--+n n ()-12∴当n ≤5时,T n =-n 2+10n当n >6时,T n =S 5+|S n -S 5|=S 5-(S n -S 5)=2S 5-S n∴T n =2(-25+50)-(-n 2+10n)=n 2-10n +50即-+≤-+>∈T =n 10n n 5n 10n 50 n 6n *n 22⎧⎨⎪⎩⎪N说明 根据数列{a n }中项的符号,运用分类讨论思想可求{|a n |}的前n 项和.【例7】 在等差数列{a n }中,已知a 6+a 9+a 12+a 15=34,求前20项之和.解法一 由a 6+a 9+a 12+a 15=34得4a 1+38d =34又=+×S 20a d 20120192=20a 1+190d=5(4a 1+38d)=5×34=170解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×+ 由等差数列的性质可得:a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20 ∴a 1+a 20=17S 20=170【例8】 已知等差数列{a n }的公差是正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,求它的前20项的和S 20的值.解法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则d >0,由已知可得(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 4 1111++=-①+++-②⎧⎨⎩由②,有a 1=-2-4d ,代入①,有d 2=4再由d >0,得d =2 ∴a 1=-10最后由等差数列的前n 项和公式,可求得S 20=180 解法二 由等差数列的性质可得:a 4+a 6=a 3+a 7 即a 3+a 7=-4又a 3·a 7=-12,由韦达定理可知:a 3,a 7是方程x 2+4x -12=0的二根解方程可得x 1=-6,x 2=2∵ d >0 ∴{a n }是递增数列∴a 3=-6,a 7=2d =a =2a 10S 1807120--a 373,=-,= 【例9】 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S T n n a b n n =+231100100,则等于 [ ]A 1B C D ....23199299200301 分析 n S =n(a +a )n n 1n 该题是将与发生联系,可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系.a b S T n n n n 1001002312=+解法一 ∵,∴∴S n a a T n b b S T a a b b a a b b n n n n n n n n n n n n =+=+=++++=+()()11111122231∵2a 100=a 1+a 199,2b 100=b 1+b 199∴××选.a b a b 100100199199=a b =21993199+1=199299C 11++ 解法二 利用数列{a n }为等差数列的充要条件:S n =an 2+ bn∵S T n n n n =+231可设S n =2n 2k ,T n =n(3n +1)k∴∴××a b S S T T n k n k n n k n n kn n n n a b n n n n n n =--=--+---+=--=--=--=--1122100100221311311426221312100131001199299()()()[()] 说明 该解法涉及数列{a n }为等差数列的充要条件S n =an 2+bn ,由已知,将和写成什么?若写成,+,S T n n n n =+231S T S =2nk T =(3n 1)k n n n n k 是常数,就不对了.【例10】 解答下列各题:(1)已知:等差数列{a n }中a 2=3,a 6=-17,求a 9;(2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数;(3)已知:等差数列{a n }中,a 4+a 6+a 15+a 17=50,求S 20;(4)已知:等差数列{a n }中,a n =33-3n ,求S n 的最大值. 分析与解答(1)a =a (62)d d =562+-=---1734a 9=a 6+(9-6)d=-17+3×(-5)=-32(2)a 1=19,a n+2=89,S n+2=1350∵∴+×+S =(a +a )(n +2)2n 2=2135019+89=25 n =23a =a =a 24d d =3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是,末项是,公差为的个数.211112*********23 (3)∵a 4+a 6+a 15+a 17=50又因它们的下标有4+17=6+15=21∴a 4+a 17=a 6+a 15=25S =(a +a )2020120××210250417=+=()a a (4)∵a n =33-3n ∴a 1=30S=(a+a)n2n1n·×=-=-+=--+()()633232632 322123218222n nn n n∵n∈N,∴当n=10或n=11时,S n取最大值165.【例11】求证:前n项和为4n2+3n的数列是等差数列.证设这个数列的第n项为a n,前n项和为S n.当n≥2时,a n=S n-S n-1∴a n=(4n2+3n)-[4(n-1)2+3(n-1)]=8n-1当n=1时,a1=S1=4+3=7由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有a n=8n -1又a n+1-a n=[8(n+1)-1]-(8n-1)=8∴这个数列是首项为7,公差为8的等差数列.说明这里使用了“a n=S n-S n-1”这一关系.使用这一关系时,要注意,它只在n≥2时成立.因为当n=1时,S n-1=S0,而S0是没有定义的.所以,解题时,要像上边解答一样,补上n=1时的情况.【例12】证明:数列{a n}的前n项之和S n=an2+bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件.证⇒由S n =an 2+bn ,得当n ≥2时,a n =S n -S n-1=an 2+bn -a(n -1)2-b(n -1)=2na +b -aa 1=S 1=a +b∴对于任何n ∈N ,a n =2na +b -a且a n -a n-1=2na +(b -a)-2(n -1)a -b +a=2a(常数)∴{a n }是等差数列.⇐若{a n }是等差数列,则S na d =d n(a d)=d 2n 11=+··+-n n n n n n a d ()()()-++-1212221 若令,则-,即d d 22=a a =b 1 S n =an 2+bn综上所述,S n =an 2+bn 是{a n }成等差数列的充要条件. 说明 由本题的结果,进而可以得到下面的结论:前n 项和为S n =an 2+bn +c 的数列是等差数列的充分必要条件是c =0.事实上,设数列为{u n },则:充分性=+是等差数列.必要性是等差数列=+=. c =0S an b {u } {u }S an bn c 0n 2n n n n 2⇒⇒⇒⇒【例13】 等差数列{a n }的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n(m >n),求前m +n 项和S m+n .解法一 设{a n }的公差d按题意,则有S na d m S ma d n (m n)a d =n m n 1m 11=+=①=+=②①-②,得-·+·-n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212 即+-∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n ++=++++-=+++-+12121211()()()()() =-(m +n)解法二 设S x =Ax 2+Bx(x ∈N)Am Bm n An Bn m 22+=①+=②⎧⎨⎪⎩⎪①-②,得A(m 2-n 2)+B(m -n)=n -m∵m ≠n ∴ A(m +n)+B=-1故A(m +n)2+B(m +n)=-(m +n)即S m+n =-(m +n)说明 a 1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再解决其它问题,但本题关键在于求出了+=-,这种设而不a d 11m n +-12解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设S x =Ax 2+Bx .(x ∈N)【例14】 在项数为2n 的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n 之值是多少?解 ∵S 偶项-S 奇项=nd∴nd=90-75=15又由a 2n -a 1=27,即(2n -1)d=27nd 15 (2n 1)d 27n =5=-=∴⎧⎨⎩【例15】 在等差数列{a n }中,已知a 1=25,S 9=S 17,问数列前多少项和最大,并求出最大值.解法一 建立S n 关于n 的函数,运用函数思想,求最大值.根据题意:+×,=+×S =17a d S 9a d 1719117162982∵a 1=25,S 17=S 9 解得d =-2∴=+--+--+S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∴当n=13时,S n最大,最大值S13=169解法二因为a1=25>0,d=-2<0,所以数列{a n}是递减等差数列,若使前项和最大,只需解≥≤,可解出.na0a0n nn+1⎧⎨⎩∵a1=25,S9=S17∴×+××+×,解得-9252d=1725d d=29817162∴a n=25+(n-1)(-2)=-2n+27∴-+≥-++≥≤≥∴2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩即前13项和最大,由等差数列的前n项和公式可求得S13=169.解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系.由题意S9=S17得a10+a11+a12+…+a17=0而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14∴a13+a14=0,a13=-a14∴a13≥0,a14≤0∴S13=169最大.解法四根据等差数列前n项和的函数图像,确定取最大值时的n.∵{a n}是等差数列∴可设S n=An2+Bn二次函数y=Ax2+Bx的图像过原点,如图3.2-1所示∵S9=S17,∴对称轴x=9+172=13∴取n=13时,S13=169最大。

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