第五章 第二节 等差数列及其前n 项和
课下练兵场
一、选择题
1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5
3 C.2 D.3
解析：∵S 3＝
13()
2
a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝
31()
2
a a +＝2. 答案：C
2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2
d
⨯-＝95.
答案：C
3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c
b ＝2”，那么 ( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c
b ＝2，可得a ＋
c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，
但a b ＋c b ≠2. 答案：B
4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{
1
1
n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{
11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411
a +＝1
2＋1＋
2×16，解得a 4＝1
2. 答案：A
5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C
6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在
11S a ，2
2S
a ，…，1515S a 中最
大的是 ( ) A .
1
1S a B .88S a C .99
S a D .1515S a
解析：由于S 15＝
11515()
2
a a +＝15a 8＞0，
S 16＝
11615()
2
a a +＝8(a 8＋a 9)＜0，
所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样
11S a ＞0，2
2S
a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0，
而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8， 所以在
11S a ，2
2S
a ，…，1515S a 中最大的是88S a .
答案：B 二、填空题
7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1
a n ＋2
(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ .
解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1
a n
，
∴{1a n }为等差数列.又1a 1＝1，d ＝1a 2－1
a 1＝1， ∴1a n
＝n ，∴a n ＝1n .
答案：1
n
8.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则
a 9
b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4
的值为 . 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6
＝a 9＋a 32b 6＝2a 6
2b 6.
∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×
11－34×11－3＝1941， ∴
a 9
b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝19
41
. 答案：19
41
9.已知数列{a n }是等差数列，若它的前n 项和S n 有最小值，且a 11
a 10
＜－1，则使S n ＞0成立 的最小自然数n 的值为 .
解析：由已知得，a 1＜0，d ＞0，a 10＜0，a 11＞0，a 1＋a 19＜0，a 10＋a 11＞0，∴a 1＋a 20＞0，∴S 19＜0，S 20＞0，故n ＝20. 答案：20 三、解答题
10.()已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解：设{a n }的公差为d ，则
1111
(2)(6)16,
350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨
+++=⎩ 1212181216,4.
a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即 118,8,
2 2.
a a d d =-=⎧⎧⎨⎨
==-⎩⎩解得或 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1) ＝－n (n －9).
11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝25n －2n 2.
(1)求证：{a n }是等差数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1)证明：①n ＝1时，a 1＝S 1＝23.
②n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(25n －2n 2)－[25(n －1)－2(n －1)2]＝27－4n ，而n ＝1 适合该式.
于是{a n }为等差数列.
(2)因为a n ＝27－4n ，若a n ＞0，则n ＜
274
， (16),(7)
n
n n
a n a a n ⎧=⎨
-⎩所以≤≤≥
当1≤n ≤6时，T n ＝a 1＋a 2＋…a n ＝25n －2n 2， 当n ≥7时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝S 6－(S n －S 6)＝2n 2－25n ＋156，
综上所知2
2
252.225156(7)
n n
n n n n ⎧-⎪⎨-+⎪⎩（16）≤≤≥ 12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (c ∈R ，n ＝1,2,3…)，且S 1，S 22，S 3
3成等差数列.
(1)求c 的值；
(2)求数列{a n }的通项公式.
解：(1)∵nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋cn (n ＝1,2,3，…)， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝n 2＋cn n (n ＋1)(n ＝1,2,3，…). ∵S 1，S 22，S 33成等差数列，∴S 22－S 11＝S 33－S 2
2.
∴
1＋c 2＝4＋2c 6
， ∴c ＝1. (2)由(1)得
S n ＋1n ＋1－S n
n
＝1(n ＝1,2,3，…). ∴数列{S n n }是首项为S 1
1，公差为1的等差数列.
∴S n n ＝S 1
1＋(n －1)·1＝n .
∴S n ＝n 2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，上式也成立∴a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).。