概率论与数理统计期末考试卷课程名称： 概率论与数理统计 考试时间 专业 班 学号 姓名一、填空题（每格3分，共18分）1. 设31)()()(321===A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则（1）321,,A A A 至少出现一个的概率为_ __；（2）321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。

2. 设)2,1(~2N X ，)1(~P Y ，6.0=XY ρ，则=+-2)12(Y X E __ ____。

3．设Y X ,是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y 则},max{Y X Z =的分布函数是 。

4．若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，2021,,,X X X Λ是来自X 的一个样本，令∑∑==-=201110143i i i i X X Y ，则Y 服从分布 。

5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度⎩⎨⎧>=-其它,00,)(y xe x y f xy z y 则y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ .二、单项选择题（每小题2分，共10分）1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ，而在此区间外等于0，若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数，则区间],[b a 为（ ）。

(A) ]2,0[π； (B) ],0[π；(C) ]0,2[π-； (D) ]23,0[π。

2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ，即)(~x f X ，期望μ与方差2σ都存在，样本)1(,,,21>n X X X n Λ取自X ，X 是样本均值，则有（ ） (A) )(~x f X ；(B) )(~min 1x f X i ni ≤≤；(C) )(~max 1x f X i ni ≤≤ ； (D) )(~),,,(121∏=ni in x f X X X Λ。

3. 总体2~(,)X N μσ，2σ已知，n ≥（ ）时，才能使总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L 。

(975.0)96.1(=Φ)（A ）2215/L σ； （B ）2215.3664/L σ； （C ）2216/L σ； （D ）16。

4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，-F 检验法和-t 检验法，下列说法正确的（ ）。

(A) F 检验法最有效； (B) t 检验法最有效；(C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的；（D) F 检验法和t 检验法，可以代替相关系数的检验法。

5．设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2σμN 的样本(2σ已知),令nX u /σμ-=,并且21α-u满足απαα-=⎰----121212122/dx euux (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第一类和第二类错误的概率分别是( )和( ).(A) ||{|21α-<u u P 当0H 成立} ；(B) 21|{|α-<u u P |当0H 不成立}；(C) ||{|21α-≥uu P 当0H 成立}；(D) 21|{|α-≥uu P |当0H 不成立}。

三、计算题（每小题10分，共20分）1. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。

解：设事件C B A ,,分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，D 表示目标被击毁，i H 表示有i 门炮同时击中目标（3,2,1=i ），由题设知事件C B A ,,相互独立，故2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，5.0)(=C P ； 2.0)|(1=H D P ，6.0)|(2=H D P ，9.0)|(3=H D P )()(1C B A C B A C B A P H P ⋃⋃=)()()(C B A P C B A P C B A P ++=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 47.0=22.0)(2=H P ， 03.0)(3=H P（1）由全概率公式，得)|()()(31i i i H D P H P D P ∑==253.09.003.06.022.02.047.0=⨯+⨯+⨯= （2）由贝叶斯公式，得)()|()()()()|(D P C B A D P C B A P D P D C B A P D C B A P ==0554.0253.02.05.07.02.0=⨯⨯⨯=2．随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，随机变量⎩⎨⎧>-≤-=-1若U 1若U 11X ，⎩⎨⎧>≤-=1若U 1若U 01Y 。

试求：（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）)(Y X E +；（3）22Y X Z +=的概率分布。

解：（1）因随机变量U 在区间]2,2[-上服从均匀分布，故4141)1()1,1()1,1(12==-≤=≤-≤=-=-=⎰--dx U P U U P Y X P ； 0)()11,1()0,1(==>-≤==-=φP U U P Y X P ；2141)11()1,1()1,1(11==≤≤-=≤->=-==⎰-dx U P U U P Y X P 4141)1()1,1()0,1(21==>=>->===⎰dx U P U U P Y X P故X 和Y 的联合概率分布如下：(2) 关于X 的边际分布为关于Y 的边际分布为故2143141)1()(=⨯+⨯-=X E ， 4341043)1()(-=⨯+⨯-=Y E ， 414321)()()(-=-=+=+Y E X E Y X E（3）22Y X Z +=的概率分布为1. 设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他00)(2ππx Ax x f ，试求（1）常数A ；（2）X Y sin =的概率密度函数；（3）)2/1|sin (|<X P 。

解：（1） 由⎰∞∞-=1)(dx x f 得12|2100222===⎰AAx dx Axππππ，得2=A ；（2）由于X 在),0(π 内取值，X Y sin =的取值区间为)1,0(，故Y 的可能取值四、计算题（ 每小题10分，共20分）区间外，0)(=y f Y ，故}arcsin {}arcsin 0{}{ππ≤≤-⋃≤≤=≤X y y X y Ydx x f dx x f y Y P y F yX yX Y )()(}{)(arcsin arcsin 0⎰⎰-+=≤=ππdx xdx xyy⎰⎰-+=ππππarcsin 2arcsin 0222在上式两端对y 求导，得10<<y（32．设二维随机变量),(Y X 的联合分布密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它0,10)1(24)(x y x yx y x p(1) 求随机变量X 与Y 的边际分布；(2) 若Y X ,分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望； (3) 求条件分布密度)21|(|=x y p X Y 。

解：（1） ⎰⎰∞∞--=-==xX x x ydy x dy y x p x p 02)1(12)1(24),()( 10≤≤x)2(12)1(24),()(02-=-==⎰⎰∞∞-y y ydx x dx y x p y p yY 10≤≤y（2） ⎰⎰=D dxdy y x xyp XY E ),()( }0,10|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=ydy x xy dx x)1(24010-=⎰⎰154=(3) 当10≤≤x 时， 2|2)(),()|(xyx p y x p x y p X X Y == x y ≤≤0当21=x 时， y x y p X Y 8)21|(|== 210≤≤y1、设总体X 的分布律为1()(1),1,2,x P X x p p x -==-=L ， 其中0>p 为未知参数，n X X X ,,,21Λ 是来自总体X 的样本，试求：（1） 参数p 的矩估计量；（2）参数p 的极大似然估计量（只需列出方程）。

2、假设随机变量X 服从正态分布)1,(μN , 1021,,,x x x Λ是来自X 的10个观察值,要在05.0=α的水平下检验0:,0:100≠==μμμH H取拒绝域为}|{|C x R ≥=。

(1) 求?=C ；(2) 若已知1=x ,是否可以据此样本推断)05.0(0==αμ；(3) 如果以}15.1|{|≥=x R 作为该检验0:0=μH 的拒绝域, 试求检验的显著水平α。

其中975.0)96.1(=Φ，950.0)64.1(=Φ，99985.0)64.3(=Φ。

解：（1）0:00==μμH ；0:1≠μH 选择统计量 x nx U 10/0=-=σμ五、计算题（ 每小题10分，共20分）当0=μ时，)1,0(~/0N nx U σμ-=对于05.0=α，查表知 05.0}96.1|{|=≥U P因此拒绝域}62.0|{|}96.110{}96.1|{|≥=≥=≥=x x U R 即 62.0=C（2）对于62.01>=x ，即R x ∈，因此不能据此样本推断0=μ； （3）}1015.1|10{|}15.1|{|≥=≥x P x P }1015.1|10{|1≤-=x P 0003.0]1)64.3(2[1=-Φ-=由于检验的显著水平α就是在0=μ时成立时拒绝0H 的概率0003.0}1015.1|10{|}{=≥=∈=x P R U P α五、证明题（10分）1．设0)(>A P ，试证：)()(1)|(A P B P A B P -≥。

证明： 因为 1)(≤⋃B A P ， 即1)()()(≤-+AB P B P A P 1)|()()()(≤-+A B P A P B P A P )](1[)()|()(B P A P A B P A P --≥)()()|()(B P A P A B P A P -≥)()(1)|(A P B P A B P -≥ （0)(>A P ）2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布)9,0(N ，而921,,,X X X Λ和921,,,Y Y Y Λ分别来自总体X 和Y 的样本，试证统计量)9(~292221921t YY Y X X X U ++++++=ΛΛ。