3 — 5 控制系统的稳定性





一、稳定性的基本概念 1、稳定性定义 2、稳定的条件 3、特征方程 二、稳定性判别 1、古尔维茨定理 例一 、 例二、 2、林纳德奇帕特判据 例一、 3、劳斯稳定判据 例一、 例二、
3 — 5 控制系统的稳定性
三、系统相对稳定性的检验 例一、 例二、 四、结构不稳定及其改进措施 1、改变积分性质 2、引入一阶微分控制 第一次小测验 一、二、三、四、
∴系统稳定
例二、D(s) = 2S4 + S3 + 3S2 + 5S + 10 = 0
解：a0 = 2 , a1 = 1 , a2 = 3 , a3 = 5 , a4 = 10 ∴ D1 = a 1 = 1 a1 a3 1 5 D2 = = = –7 < 0 a0 a2 2 3
∴系统不稳定
2、林纳德奇帕特判据
必要条件：
1）系统特征方程的各项系数大于0，即： ai > 0 ( i = 0,1,2……n ) 2）奇数阶或偶数阶的古尔维茨行列式大于0，即： D奇 > 0 或 D 偶 > 0
例 ：D(s) = S4 + 2S3 + 3S2 + 4S + 5 = 0
解：a0 = 1 , a1 = 2 , a2 = 3 , a3 = 4 , a4 = 5 ∴ ai > 0 D1 = a 1 > 0 a1 a3 a5 2 4 0 D3 = a 0 a 2 a 4 = 1 3 5 = – 6 < 0 0 a1 a 3 0 2 4

３—５控制系统的稳定性
一、稳定性的基本概念 1、稳定性定义：若控制系统在初始条件或扰动 影响下，其瞬态响应随着时间的推移而逐渐衰减 并趋向于零，则称该系统渐近稳定，简称稳定； 反之，若系统的瞬态响应随着时间的推移而发散， 则称系统为不稳定。
系统开始处于平衡状态，则由于受 外力作用（扰动）之后，必将偏离原 来平衡状态，若扰动消失后，系统能 够返回它的原来平衡状态，那么就称 这样的系统是稳定的 ，否则就是不稳 定的。（如图 a , b特征方程式实际上就是控制系统 闭环传递函数的分母多项式等于0
b0 S b1S ...... bm1S bm G( s) n n 1 a0 S a1S ...... an 1S an
m
m 1
二、稳定性判别
1、古尔维茨稳定判据 设系统特征方程的一般形式为：
a1a4 a0 a5 b2 a1
a1a8 a0 a9 b4 a1
a2 a4 a6 …… a3 a5 a7 …… b2 b3 b4 …… c2 c3 c4 …… …… . e1 e2 e3 …… . f1 f2 …… . g1 …… 1 2 3 4 a0 a1 b1 c1
例一、系统的特征方程
S 8S 17 S 16S 5 0
4 3 2
解：a0 = 1 , a1 = 8 , a2 = 17 , a3 = 16 , a4 = 5 ∴ D1 = a 1 = 8 > 0 a1 a3 8 16 D2 = a a = = 120 >0 1 17 0 2
a1 a3 a5 8 16 0 D3 = a0 a2 a4 = 1 17 5 = 1600 > 0 0 a1 a3 0 8 16 a1 a0 D4 = 0 0 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2 a7 a6 = a5 a4 8 1 0 0 16 17 8 1 0 5 16 17 0 0 = 90 > 0 0 5
∴ 系统不稳定
3、劳斯稳定判据
设 D(s) = a0Sn + a1Sn-1 + …… + an = 0 ai > 0(i=0…..n)
第一步：将所给方程的系数按下列方式排成两行 第二步：在1，2 行的基础上排出第三行 a1a6 a0 a7 a1a2 a0 a3 b3 b1 a1 a1
...... an 0
设特征方程式有 k 个实根 Si ，r 对共轭复根 σi+jwi,, σi-jwi那么有：n = k + 2r 则特征方程可写成根的形式
a0 ( S Si ) [ S ( j j j )] 0
i 1 j 1
K

齐次方程的解：
C (t ) Ci e e ( A j cos j t B j sin j t )
Si t
K

jt
i 1
j 1
从上式可知，若 Si , σj 都为负值，那么，当 t →∞ 时，C(t) →0 ,这说明当系统的特征方程式 的根是负根或共轭复根具有负实部 时，当系统 趋于稳态时（ t → ∞）时，能够回到原始平衡状 态，即系统是稳定的。 结论：控制系统稳定的充要条件：系统特征方程 式的根全部位于复平面虚轴的左侧。
2、稳定的条件
线性系统的稳定性与输入无关，只取决于它的结 构和参数。 线性系统动态特性的微分方程的一般形式为 ：
d c(t ) d c(t ) a0 a1 ...... an c(t ) n n 1 dt dt m d r (t ) b0 ...... bm r (t ) m dt
n
n 1
研究稳定性问题，就是研究系统去掉外力作用 （扰动）后的运动情况，也就是方程右边为0的 齐次微分方程式：
d c(t ) d c(t ) a0 a1 ...... an c(t ) 0 n n 1 dt dt
齐次微分方程的特征方程式：
n
n 1
a0 S a1S
n
n 1
D( s) a 0 S a1S
n
n 1
...... an1S an 0
式中：a0 > 0 系统稳定的充要条件：特征方程的古尔维茨行列 式 Dk ( k=1,2,3,…n ) 全部为正。各古尔维茨行列 式为： a1 a3 D1=a1 , D2= a0 a2
a1 a3 a5 D3 = a 0 a 2 a 4 0 a1 a 3 a1 a0 0 Dn = 0 0 0 a3 a5 …… a2n-1 a2 a4 …… a2n-2 a1 a3 …… a2n-3 a0 a2 …… a2n-4 0 a1 a3 …a2n-5 ……… 0 0 0 …..an