第五章 控制系统的稳定性分析
2、判别系统稳定性的基本原则
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对于一般的反馈系统，系统的传递函数为： Xo (s) G(s) (s) Xi (s) 1 G(s)H(s) 设输入信号为单位脉冲信号，则有：
Xo (s) G(s) G(s) 1 G(s)H(s) (s s1 )(s s 2 )(s s n )
2.劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。 这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式 ，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完 成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解 这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
第五章 控制系统的稳定性分析
系统的特征方程为： 2s4 s3 3s2 5s 10 0 例 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。
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解：由特征方程知：1) ai=0
1 2 2) n 0 0
5 3 1 2
0 10 5 3
0 0 0 10
1 5 1 1 0 2 7 0 2 3 所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。
第五章 控制系统的稳定性分析
奈奎斯特稳定判据的陈述 1. 绘制w从 0 变化时的开环频率特性曲线，即开环奈 氏图，并在曲线上标出w从增加的方向。 2.根据曲线包围（-1，j0）点的次数和方向，求出N的大 小和正负。
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w从 0 时，曲线 H ( j )G( j ) 对（-1，j0）点包围的次数。 当N>0时，按逆时针方向包围的情况。 当N<0时，按顺时针方向包围的情况。 当N=0时，表示曲线不包围（-1，j0）点。
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3. 由给定的开环传递函数确定开环右极点数P，P为正整 数或0。 4.由Z=P-2N确定系统的稳定性Z为闭环右极点的个 数，其为正整数或0.系统稳定时，Z=0，即P=2N 5.若曲线 H ( j )G( j ) 刚好通过（-1，j0）点，Байду номын сангаас明闭环系 统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，归于不 稳定。
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相位穿越频率ωg：开环Nyquist曲线与负实轴的交点对 应的频率ωg称为相位穿越频率，也称相位交界频率。 其在图中的位置如图所示。
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(g ) 180
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1 1 Kg A(g ) G ( jg ) H ( J g ) 1 K g (dB) 20 lg 20 lg A(g ) L(g ) A(g )
n c1 c2 cn c i s s1 s s 2 s s n i 1 s si
x o (t) ci esi t
i 1
n
<1>
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从<1>式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s， 全部具有负实部。
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…
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例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517S 2.3 104 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。
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解：列劳斯表
S3 S2 S1
1 41.5 38.5
517 2.3×104
0 0
S0
2.3× 4 10
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第五章
控制系统的稳定性分析
第五章 控制系统的稳定性分析
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5-1 稳定性 5-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据
5-3 奈奎斯特稳定判据
5-4 系统的相对稳定性
第五章 控制系统的稳定性分析 5-1 稳定性
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1、稳定性的概念
稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬 间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动 撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳 定的。 由此可知：线形系统的稳定性取决于系统的固有特征 （结构、参数），与系统的输入信号无关。
180 ，其中称为奈氏图与单位圆交点频率ωc上
的相位角。
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>0，系统稳定； 0 ，系统不稳定， 越小，表示系统
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相对稳定性越差，一般取 30 60 。其在图中的位置 如图所示。
2) 幅值裕量 在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数， 称为幅值裕量，用kg表示。
(1 2 )(1 4 2 )(1 25 2 )
( ) arctg arctg 2 arctg 5 A(0) 20, (0) 0 A() 0, () 270
由右图可见，开环Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一 圈，即N＝-1：而开环特征根全部位于左半s平面，即P＝ 0，由Nyquist判据知，系统闭环不稳定。
S
2
517
0
S1 S0
1670(1 K ) 0 41.5 ´ 517 1670(1 K ) 0 41.5 1670(1 K ) 41.5
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的 系数必须全为正值。可得： 517 40 .2 (1 K ) 0 1670 (1 K ) 0
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胡尔维茨行列式可列写为：
a1 a 3 a 5 00 00 00 00 a0 a2 a4 0 a1 a 3
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n 0 a 0 a 2
0 0 0
00 a n 1 0
0 0 0 a n2 a n
建立 n 规律：主对角线上元素从a0开始依次递增为an-1，再 写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0时用0代替。
\ 1 K 11.9
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※ 劳斯判据特殊情况
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1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或 没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法 是以一个很小的正数 e 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完 成劳斯表的排列。
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
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例 已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.58S 2 517S 1670(1 K ) 0
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求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表 S 3 1
当 G( jw g )H( jw g ) 1，则kg>1，kg(dB)>0dB，系统是稳定 的。 当 G( jw g )H( jw g ) 1，则kg 1，kg(dB) 0dB，系统是不 稳定的。 Kg一般取8～20dB为宜。
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二、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线 性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负 的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充 要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
第五章 控制系统的稳定性分析
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20 例：已知系统开环传递函数 G(s) ( s) ( s 1)(2s 1)(5s 1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性
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解：G ( j ) ( j )
A( )
20 ( j 1)( j 2 1)( j 5 1) 20
实轴上。
第五章 控制系统的稳定性分析 5-4 系统的相对稳定性
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1、相位裕量和幅值裕量
1) 相位裕量 在奈氏图上，从原点到奈氏图与单位圆的交点连一直线， 则该直线与负实轴的夹角，就称为相位裕量。用 表示。 幅值穿越频率ωc：开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应 的频率ωc称为幅值穿越频率，也称剪切频率。
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补充：当系统含有积分环节时，其开环奈氏曲线不封闭， 此时需作辅助线。即按常规方法作出ω 由0+→ ∞变化时的
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Nyquist曲线后，从G(j0)开始，以∞的半径顺时针补画 v90 °的圆弧(辅助线)得到完整的Nyquist曲线。显然，
对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正
a0 0
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表
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s n a0 a2 a4 a6 表中 s n 1 a1 a3 a5 a7 b1 a1a2 a0 a3 , b2 a1a4 a0 a5 , b3 a1a6 a0 a7 a1 a1 a1 s n 2 b1 b2 b3 b4 ba ab ba ab ba ab n 3 c1 1 3 1 2 , c2 1 5 1 3 , c3 1 7 1 4 s c1 c2 c3 b1 b1 b1 s 2 d1 d 2 d3 ed d e f1 1 2 1 2 s1 e1 e2 e1 0 s f1 3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、 b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等 于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等 于系统具有的正实部特征根的个数。