所以
5.2.2 、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV ? A(x)d x
因此所求立体体积为 b
V ? ?a A(x) d x
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时 , 有
? V ?
b
y
o
x
所以
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内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕 x 轴 : A(x) ? ? y2
3. 经济方面的应用
作业
P246 1（1),(2);(8) 5; 7；
例5.2.6. 求由曲线
所围成的图形分别
绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上 任取 ?i ? [ xi?1 , xi ]
作以 [ xi?1 , xi ] 为底 , f (?i )
y
为高的小矩形 , 并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
o a x1
? Ai ? f (?i )? xi (? xi ? xi ? xi?1 )
xi?1 xi
?
[
f
( x)]2
dx
a
y
y ? f (x)
当考虑连续曲线段
o ax
bx
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时 ,
有
? V ? d ? [? ( y)]2dy c
y
d y x ? ? (y) c
ox
例5.2.4. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积 . 解: 利用直角坐标方程
y b
b
? A ? a f1(x) ? f2 (x) dx o a x x ? d x b x
例1. 求由正弦曲线
所围图形的面积 .
3?
解: S
?
?2 0
sin x d x
?
3?
?
?0
sin
xdx?
?2 ?
sin
x dx
?3
例2. 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
?i
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3) 近似和.
n
n
A ? ? ? Ai ? ? f (?i )? xi
i?1
i?1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
? A
?
lim ?
? ? 0 i?1
Ai
n
? ?
lim
? ? 0 i?1
f
(? i )?
xi
y
o a x1 xi?1 xi
?i
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近的似值
微分表达式
dU ? f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U ? ?a f (x) dx
这种分析方法成为 微元法 (或元素分析法 )
元素的几何形状常取为 : 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第五章
第二节 定积分在几何上的应用
5.2.1、 平面面积的计算 5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积
? ? ?
1
Ad?A?0?
x ? x2 dx
?1 3
在第一象限所围
y y2 ? x (1,1) y ? x2
ox 1 x x?dx
类似地
yd
x ? ? ( y) y ? dy
y o
面积微元
dS ? ?? (y) ? ? ( y)?dy
x ? ? (y)
x
c
平面图形的面积
S
?
d
?c dS
?
d
?c
??
及直线 x ? a, x ? b (a ? b)所围成的图形的面积
b
S
?
?[ a
f
(x)
?
g ( x)]dx.
y
y ? f (x)
面积微元
dS
dS ? ?f (x)? g(x)?dx
o a x x ? dx b x
y ? g(x)
(4) 如所示图形面积为
y y ? f1(x) y ? f2 (x)
第五章 定积分的应用
一.定积分的微元法 二.定积分在几何上的应用 三.定积分在经济分析上的应用
第一节
第五章
定积分的微元法
定积分的微元法
复习（如图，求曲边梯形的面积）
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 用直线 x ? xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ;
o x ax
则
V
?
a
2?0 ?
y2 dx
? ?
2?
b2 a2
a
(a
2
?
x2 ) dx
0
(利用对称性)
? 2?
b2 a2
???a 2 x
?
1 3
x3
? ??
a 0
?
4?
3
ab 2
例5.2.5 . 计算高为h、底半径为 r 的正圆锥体的体积。
y
解: 如图，建立 直角坐标方程
r
则直线方程为
h
任取截面，则体积元素为
微元法
1 、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 [a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为
定积分定义
2 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
(
x
)
?
?
( x )?dy
例5.2.2. 计算抛物线 y 2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, ? 2) , (8, 4)
y y?d y
y
y2 ? 2x
(8, 4)
为简便计算 , 选取 y 作积分变量 ,
则有
? ?
4
Ad?A ?
?2
(
y
?
4?
1 2
y2 ) dy
5.2.1、平面图形的面积
(1) 设曲线
与直线 y y ? f (x)
及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA ? f (x)dx
oa x b x
x ? dx
b
A ? ?a f ( x ) d x
（2） 若 y = f (x) 在 [a , b]上不都是非负的，则所围成
图形的面积为
（3） 由连续曲线 y ? f (x), y ? g (x)，g(x) ? f (x)
y
解: 作图， 求交点。
得交点：
且有
则绕x轴旋转而成的旋转体的体积
o
x
则绕y轴旋转而成的旋转体的体积
o
y? x? 4 x
(2, ? 2)
? 18
例5.2.3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A ? y dx
a
A ? 4?0 y d x
其中 y ? b a2 ? x2 a
y b
o xx? dxa x
ห้องสมุดไป่ตู้
因此
b a2 ? x2 a
? 由定积分的计算，得 a 0
a2 ? x2 a2 ? x2 dx