⎤T ⎥⎦
= ⎡⎣wi θxi θ yi wj θxj θ yj wm θxm θ ym wl θxl θ yl ⎤⎦T
以结点 i 的坐标 x＝－a，y＝－b 代入式（a）及其导数，可得
（a） （2.1）
wi = β1 − aβ2 − bβ3 + a2β4 + abβ5 + b2β6 − a3β7 − a2bβ8 − ab2β9 − b3β10 + a3bβ11 + ab3β12
这
4
个结点
位移完全可以确定它。由于以讨 ij 为共同边界的两个相邻单元在 i、j 两点具有相同的上述 4 个结点位移，2 个单元的挠度函数在 ij 边上将是完全相同的一条三次曲线，从而保证了 2 单
元之间挠度
w
的连续性。在
ij
边上， θ x
=
∂w ∂y
也是
x
的三次式，也需要
4
个常数才可以完
全确定它。但现在只有 θ xi
（2.2）
139
其中的形函数 Ni , N xi , N yi , , N yl 等都是 x 和 y 的四次多项式，即
[ ] ⎡⎣Ni
N xi
N
yi
⎤⎦
=
1 16
X1Y1
X1Y1 − X 2Y2 + 2 X1 X 2 + 2Y1Y2
2bY1Y2
−2aX1X 2
⎫ ⎪ ⎪
⎡⎣ N j ⎡⎣ Nm
N xj N xm
{M } = [D][B]{δ}e
（2.6） （2.7）
141
∫ 现在来证明普遍公式 [B]T {σ } dV = {R}e 仍可用以计算薄板单元的刚度矩阵。设薄板 V
{ } 单元产生了结点虚位移 δ * e ，板内各点相应的虚应变是
{ε *} = z{κ *} = z[B]{δ }* e
（c）
{ } 单位体积内由应力{σ} 所做的虚功为 ε * T {σ } ，在整个单元内积分后，应等于结点力
w = β1 + β2 x + β3 y + β4 x2 + β5xy + β6 y2 + β7 x3 + β8x2 y + β9 xy2 + β10 y3 + β11x3 y + β12 xy3
如图 2.1 所示，单元的结点位移为
{ } {δ}e = ⎡⎢⎣{δi}T
δj T
{δ m }T
{δl
}T
⎪⎪
⎪⎩0 ⎪⎭
{M} = [D]({κ} −{κ 0})
（2.13） （2.14）
143
利用虚功原理，可推知温度变化产生的结点载荷应按下式计算：
思考：解是否收敛？
{ }P e ε0
=
∫∫ [ B]T
[D]{κ 0}dxdy
（2.15）
144
t3
⎞ dz ⎟
⎠
κ*
T {M} dxdy =
κ * T {M }dxdy
{ } { } 再以 κ*
= [B]
δ*
e
及式{σ
}
=
12 t3
z
{M
}
代人上式，化简后得到
{F}e = [k ]e {δ }e
（2.8）
其中
[k]e = ∫∫[B]T [D][B]dxdy
（2.9）
∫ 矩阵[k ]e 是薄板单元的刚度矩阵，与普遍公式 [B]T {σ } dV = {R}e 是一致的。求出形 V
⎧αΔT ⎫
{ } {ε0}
=
⎧ε ⎪
x
0
⎨ε y0
⎪⎩γ xy0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
=
z
⎪⎪⎪αΔ2T
⎨ ⎪
2
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪
=
z
κ0
⎪⎩0 ⎪⎭
与式{ε} = z{κ} 比较，可知温度变化引起的薄板初形变为
此时板的内力应按下式计算：
⎧αΔT ⎫
{ }κ 0
=
⎪⎪⎪αΔ2T
⎨ ⎪
2
⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
{R}e，q 为常量，则有
142
ab
ab
∫ ∫ ∫ ∫ {R}e = q [ N ]T dxdy = q ⎡⎣Ni Nxi N yi N j
−a −b
−a −b
N yl ⎤⎦T dxdy
积分后得到
{ }P e = ⎡⎣Zi Rθ xi Rθ yi Z j Rθ xj Rθ yj Zm Rθ xm Rθ ym Zl Rθ xl Rθ yl ⎤⎦T
=
4qab
⎡ ⎢⎣
1 4
b 12
−a 12
1 4
b 12
a 12
1 4
−b 12
a 12
1 4
−b 12
−
a 12
⎤T ⎥⎦
（2.12）
由此可见，对于薄板单元，结点荷载除了法向荷载外，还有力矩荷载。
图 2.2
设薄板上、下表面的温度差为△T ，中面的温度为零（图 2.2) ，板内各点由于温度变 化而产生的初应变为
{ } [ ] + Nmwm + Nxmθxm + N ymθ ym + Nl wl + N xlθxl + N ylθ yl 代入式 κ = L w ，可得到薄板单
元的形变如下：
{κ} = [B]{δ}e
（2.5）
其中[B]为 3×12 矩阵：
⎡ ⎢ ⎢
∂2 Ni ∂x2
[B] =
⎢ −⎢
⎢
∂2 Ni ∂y 2
⎪
−
b3β12
⎪ ⎪⎭
（b）
在结点 j、m、l，也各有与式（b）类似的 3 个方程。由这 12 个方程联立求解，得到
β1 ∼ β12 ，再代入式（a），整理后得到
w = Ni wi + N xiθxi + N yiθ yi + N j wj + N xjθ xj + N yjθ yj
+ Nmwm + N xmθxm + N ymθ ym + Nl wl + N xlθxl + N ylθ yl
将式（a）中的 β4 x2 + β5 xy + β6 y2 代入式（1.1)，得到
140
−
∂2w ∂x2
=
−2β4
，
−
∂2w ∂y 2
=
−2β6
，
−2
∂2w ∂x∂y
=
−2β5
即得到薄板的 3 项常量形变。可见位移函数式（a）反映了薄板的刚体位移和常量形变。 下面再分析相邻单元之间位移的连续性。在薄板弯曲问题中，形变是挠度 w 的二阶导
数，因此要求在相邻单元的接触面上，挠度 w 及其一阶导数都连续。采用位移函数（a）式， 在相邻单元之间，挠度 w 是完全连续的，但它的导数不是完全连续的。以 ij 边为例，y 是常
量，挠度
w
是
x
的三次多项式，所以 wi
， wj
，θ yi
=
−
⎛ ⎝⎜
∂w ∂x
⎞ ⎠⎟i
及
θ
yj
=
−
⎛ ⎜⎝
∂w ⎞ ∂x ⎟⎠ j
⎫ ⎪ ⎪
θ xi
=
⎛ ⎜ ⎝
∂w ∂y
⎞ ⎟ ⎠i
= β3 − aβ5 − 2bβ6 + a2β8 + 2abβ9 + 3b2β10 − a3β11 − 3ab2β12
⎪⎪ ⎬ ⎪
−θ yi
=
⎛ ⎜⎝
∂w ∂x
⎞ ⎟⎠i
=
β2
− 2aβ4
− bβ5
+
3a 2 β 7
+
2abβ8
+ b2β9
− 3a2bβ11
⎢ ⎢2
∂
2
Ni
⎢⎣ ∂x∂y
∂2 N xi ∂x2 ∂2 Nxi ∂y 2
2 ∂2 N xi ∂x∂y
∂2 N yi ∂x2 ∂2 N xi ∂y 2
2 ∂2 N yi ∂x∂y
∂2 N yl ∂x2
⎤ ⎥ ⎥
∂2 N yl ∂y 2
⎥ ⎥ ⎥
2
∂2
N yl
⎥ ⎥
∂x∂y ⎥⎦
再将式{κ} = [B]{δ }e 代入式{M} = [D]{κ} ，得到单元内力如下：
∂2 N yl ∂y 2
⎥ ⎥ 得到矩阵 ⎥
2
∂2 N yl
⎥ ⎥
∂x∂y ⎥⎦
[B]，再代人式[k ]e = ∫∫[B]T [D][B]dxdy ，经过积分，即可得到刚度矩阵[k ]e 的显式。
三、结点荷载 单元各结点的等效荷载为
{R}e = ⎡⎣Ri Rj Rm Rl ⎤⎦T
（2.10）
设薄板表面受有法向分布荷载 q ，由虚功原理可推知，结点荷载可按下式计算：
N
yl
⎤⎦
=
1 16
X1Y2
X1Y2 − X 2Y1 + 2 X1 X 2 + 2Y1Y2
−2bY1Y2
⎪
−2aX1X 2
⎪ ⎭
其中
X1
=1−
x a
，
X2
=1+
x a
， Y1
=1−
y b
， Y2
=1+
y b
若采用局部坐标 ξ
=
x a
和η
=
y b
，则形函数
Ni ,
N xi ,
N yi ,