4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 引言 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例
4.1 引言
稳定性和能控性、能观测性一样,均是系统的结 构性质。稳定性是自动控制系统能否正常工作的先 决条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性 是系统分析和综合的首要问题。一个动态系统的稳 定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳 定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到 原平衡状态的性能,其是系统的一个自身动态属性。
若二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵，则对应 的二次型只含平方项，称为二次型的标准型，即
V ( x ) aii xi x1
n 2 i 1
x2
a11 0 0 a 22 x n 0 0
0 x1 x 0 2 a nn x n
（4-15）
式中，P为二次型各项的系数构成的 n n 实对称矩 阵，称为二次型式（4-15）的权矩阵，即
a11 a12 a1n a a a 22 2n P 21 a n1 a n 2 a nn
(4-16)
式中, a ij 为实数,且 aij a ji , i, j 1,2,, n 。 式（4-15）表明，二次型函数 V ( x )和其权矩阵P 一一对应，可将二次型函数的定号性扩展到其对应权 矩阵的定号性。
在二维状态空间中, 李亚普诺夫意义下稳定的 几何解释如图4-1所示。 图4-1李亚普诺夫意义下稳定
ε
2．渐近稳定 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 0 ,对应存在另一实数 δ (ε, t 0 ) 0 ，使当 x0 xe δ(ε, t 0 ) 时，从任意初始状态 x(t 0 ) x 0 出发 的解都满足 Φ(t; x0 , t0 ) xe ε , t t0 且对于任意小量 μ 0 总有
【例4-1】设系统的状态方程为
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
解
,求其平衡状态。
其平衡状态应满足平衡方程式(4-4)，即
1 x1 0 x x1 0 , 即, 3 3 x x x x 0 x x x 1 2 2 2 2 2 0 1
解之,得系统存在3个孤立的平衡状态 0 0 0 x e1 , x e2 , x e1 3 0 1 1
4.2.2 范数
n维状态空间中，向量x的长度(即x到坐标原点的 距离)称为向量x的范数，并用 x 表示，即
2 2 x x12 x2 xn ( x T x)
Δ1 a11 0
;
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
a11 a12 2 0; ; n det P 0 a21 a22 an1 an 2 ann
(4-18)
(2)实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶 主子行列式满足
(1) i Δ i 0 , i 1,2,, n
x x e ( x1 xe1 ) 2 ( x2 xe2 ) 2 ( xn xen ) 2 ε
(4-8)
4.2.3 李亚普诺夫稳定性定义
1．李亚普诺夫意义下稳定 设 x e 为动力学系统式(4-1)的平衡状态,若对任意 实数 ε 0 ,都对应存在另一实数 δ (ε, t 0 ) 0 ,使当
Φ(t; x0 , t 0 ) x e ε , t t 0
(4-14)
则称平衡状态 x e 是不稳定的。
不稳定的几何意义可理解为，对于某个给定 的球域 S (ε ) ，无论球域 S (δ ) 取得多么小，内部总 存在一个初始状态 x (t 0 ) x 0 ，使得从这一状态出 发的轨迹最终会超出球域 S (ε ) 。在二维状态空间 中, 不稳定的几何解释如图4-3所示。
i f i ( x1 , x2 ,, xn , t ) , i 1,2,, n x
式(4-1)的解为
(4-2) (4-3)
x (t ) Φ(t; x0 , t 0 )
式中, t 0 为初始时刻, x (t 0 ) x 0 为状态向量的初始值 式(4-3)描述了系统式（4-1）在n维状态空间的状 态轨线。若在式（4-1）所描述的系统中，存在状态
x e ，当系统运动到达该点时，系统状态各分量维 持平衡，不再随时间变化，即 x | ，该类状态 0 x xe 点 x e 即为系统的平衡状态,即
点
若系统式（4-1）存在状态向量 x e ,对所有时间t,都使
f ( xe , t ) 0
(4-4)
成立,则称 x e 为系统的平衡状态。由平衡状态在状态 空间中所确定的点，称为平衡点。 式(4-4)为确定式（4-1）所描述系统平衡状态的 方程。
二次型函数 V ( x) x T Px 的定号性与其对应的权 矩阵P的定号性一致,判别 V ( x) x T Px 的符号只要判别 实对称矩阵P的符号即可。 3．塞尔维斯特(Sylvester)准则
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各 阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
t
lim Φ (t ; x0 , t 0 ) x e μ
(4-13)
则称平衡状态 x e 是渐近稳定的。若 δ 与 t 0 无关,则称 这种平衡状态 x e 是一致渐近稳定的。
渐近稳定的几何意义可理解为,如果平衡状态 x e 为李亚普诺夫意义稳定，且从球域S (δ ) 内发出的状态 轨迹（即式(4-1)的解），当 t 时，不仅不超出 球域 S (ε ) 之外，而且最终收敛于 x e ，则平衡状态 xe 为渐近稳定。在二维状态空间中, 渐近稳定的几何解 释如图4-2所示。
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文 “运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否 的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提 出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定 性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单 变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定 性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要 基础和现代控制理论的重要组成部分。 基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性, 因此,经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定 性; 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全 面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态稳定与 否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。
4.2 李亚普诺夫稳定性的基本概念
4.2.1 平衡状态
稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自 由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动， 令输入u=0，系统的齐次状态方程为
f ( x, t ) x
式中, x为n维状态向量，且显含时间变量t；
（4-1）
f ( x, t ) 为线性或非线性，定常或时变的n维向 量函数，其展开式为
V ( x) 0 ，即 V ( x ) 为正定的,则称V(x)为负定的。 （3 ）
V ( x) 0 ，即 V ( x)为半正定的,则称V(x)为半负定的。 （4）
V ( x ) 既可为正值也可为负值,则称 V ( x ) 为不定的。 （5 ）
在式（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正 定的,且记为 P 0 。以此类推,可定义二次型权矩 阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 P 0 、 P 0 、P 0 。
图4-3 不稳定
4．3 李亚普诺夫稳定性定理
4.3.1 二次型函数及其定号性
1. 二次型函数及二次型的矩阵表达
二次型函数是一类特殊的标量函数，其可表 示为
V ( x ) aij xi x j x1
n i 1 x1 a x a a 22 2n 2 x n 21 x T Px a a a n2 nn x n n1
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种 方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是 通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断 系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理 论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可 判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法 处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方 程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范 围的稳定性。
（4-17）
2．标量函数 V ( x )的符号和性质
设V(x)为由n维状态向量x所定义的标量函数， x Ω ，且在 x 0 处，恒有V(x)=0。对所有在域 Ω 中的任何非零向量x，如果
(1) V(x)>0，则称V(x)为正定的。 (2) V ( x ) 0 ，则称V(x)为半正定的。
即
(4-19)
0, i为偶数 Δi 0, i为奇数
(i 1,2,, n)
(3) 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n-1 阶主子行列式非负,且矩阵P的行列式为零,即
1 2
(4-6)
而向量 ( x x e ) 的长度(即x到 x e 的距离)称为 ( x x e ) 的范数,并用 x x e 表示，即
x x e ( x1 xe1 ) 2 ( x2 xe2 ) 2 ( xn xen ) 2
(4-7)
在n维状态空间中,若用点集 S (ε ) 表示以 x e 为 中心、ε为半径的超球域,那么, x S (ε ) ,则表示
李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法） 的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统 的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基 础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着 系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减, 直至 t 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小 值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的 “广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断 系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程 就能直接判断其稳定性，故又称为直接法,其最大优 点在于对任何复杂系统都适用,而对于运动方程求解 困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性 分析,则更能显示出优越性。