圆锥曲线 椭圆 专项训练【例题精选】：例1 求下列椭圆的标准方程： （1）与椭圆x y 22416+=有相同焦点，过点P (,)56；（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t ；（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。

（4）e c ==08216.,.例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。

（1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在这个椭圆上，且||||PF PF 121-=，求：tg F PF ∠12的值。

例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的23。

求：椭圆的离心率。

小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。

例4 已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。

求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。

小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。

例5 过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。

小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。

例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆、12516)5,0()0,4(22=+是椭圆在第一象限内部分上的一点，求∆ABC 面积的最大值。

小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。

（圆中用直径性质或弦心距）。

要有耐心，处理好复杂运算。

【专项训练】： 一、 选择题：1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C.2 D. 16. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴7．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是534，则点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）A. 2B. 1C.23 D. 21 9．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x10．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ）A ．3B ．11C ．22D ．10二、 填空题：11．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = 。

12．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 。

13．直线y=x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 。

14、椭圆372122x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 16、椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 17、中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y=3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程。

18.求F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若r 是第一象限内该数轴上的一点，221254PF PF +=-，求点P 的坐标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AoB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.19.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a +的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.圆锥曲线 椭圆 专项训练参考答案【例题精选】：例1（1）182022=+y x （2）1)1()1(22222=-+-x t t y t （3）191219122222=+=+x y y x 或 （4）.119161311619132222=+=+y x y x 即（5）.1100361361002222=+=+y x y x 即例2 （1） 13422=+x y （2 5323252449425||||2||||||cos 21221222121=-+=-+=∠····可利用余弦定理求得PF PF F F PF PF PF F34tan 21=∠PF F 例3 53=e 例4 已知椭圆x y 2291+=，过左焦点F 1倾斜角为π6的直线交椭圆于A B 、两点。

求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。

解： a b c ===3122,,∴=++-=++=+=-=∴=+-=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥==+=-直线的方程为代入得则··AB y x x y x x x x x x AB k x x x x x M 332299041221503215411133241542233222212122212212().,||()()()()36)22223(34)()1(||2221=+-=-+=∴F M x x k M F 小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。

例 5 x+2y-4=0例6 解：设点坐标为C x y (,)11 则25164001212x y +=过A 、B 的直线方程是x y 451+=即54200x y +-=C x y d x y 点到直线的距离为542005420541122+-==+-+||)2045(2145|2045|4521||2111221122-+=+-++==∆∴y x y x d AB ABC S···40025162251612121212=+≥x y x y ·=>>40001111x y x y (,)∴≤x y 1110·2201040400401625)45(4511212121111=⨯+≤++=+=+∴y x y x y x y x∴=-=-=+=∴==-S x y x y x y S ABC ABC ∆∆12202201021251625164002252210211212121211()(),().当且仅当在时，等号成立时成立即的最大值为小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。

（圆中用直径性质或弦心距）。

要有耐心，处理好复杂运算。

【专项训练】：一、 选择题：ACD DABB BBD 填空题 11、3或31612、 4 1 13、5382 1472327232,,±⎛⎝⎫⎭⎪-±⎛⎝ ⎫⎭⎪、15、3)(x 15922±≠=+y x 16、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为：；（2）当 为短轴端点时，， ，椭圆的标准方程为： ；17、设椭圆：12222=+by ax （a ＞b ＞0），则a 2＋b 2=50…①又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=21，∴y 0=23－2=－21由220022212122221222212222222212213311b a y x b a x x y y k b x x a y y b x ay b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①，②得：a 2=75，b 2=25，椭圆为：257522x y +=118、 （Ⅰ）易知2a =，1b =，3c =∴1(3,0)F -，2(3,0)F ．设(,)P x y (0,0)x y >>．则22125(3,)(3,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-，又2214x y +=，联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211334x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3(1,2P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k+=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+> 又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=>+∴2144k -<<．②综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是3(2,(,2)22--19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为2⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ② 又1212()y y k x x +=++ ③而(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <k >k ． 20、[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=112222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba a x x +=+∴>∆ 222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b ab a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。