千人桥中学2020－2020学年度第一学期期末考试高二数学(理)试卷（总分：150分 时间：120分钟）一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 以边长为1的正方形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的体积为 ( )（A ）．π13 (B)．π (C)．π43(D)．π2 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )3.中心角为π,面积为S 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为S '，则:S S '=（ ） (A)．1∶2 (B)．2∶3 (C)．3∶4 (D)．3∶84. 已知直线12x ya +=过点(2,1)，则该直线的斜率为（ ） (A)．2-(B)．12-(C)．12(D)．25. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,1)-的圆的方程为（ ） （A ）．22(1)1x y ++= （B ）．22(1)1x y +-= （C ）．22(1)(1)1x y -++= （D ）．22(2)1x y ++= 6. “ln ln a b =”是“a b =”的（ ）(A)．充分必要条件 (B)．充分而不必要条件 (C)．必要而不充分条件 (D)．既不充分也不必要条件 7．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是（ ） （1）m l ⊥⇒βα// （2）m l //⇒⊥βα （3）βα⊥⇒m l // （4）βα//⇒⊥m l (A)．（1）与（2） (B)．（3）与（4） (C)．（2）与（4） (D)．（1）与（3）8.椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ,与双曲线222112222:1(0,0)x y C a b a b -=>>在第一、四象限的公共点为,B C ，且O 为原点，若正方形OBAC 的中心恰为1C 与2C 的公共焦点，则2C 的离心率是（ ）（A ）51+ （B ）6（C ）31 （D ）69. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）（A ）．3 （B ）．25（C ）．2 （D ）．2310. 已知双曲线1C ：2212x y -=，圆2C ：221x y +=．若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为曲线1C 与2C 的“串点”．以下不是曲线1C 与2C 的“串点”的为 ( ) (A)．(0,2)(B)．(1,1) (C)．2,1)(D)．(0,2)第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,请你将正确的答案填在空格处)11. 关于函数()f x 的命题“12,x x R ∀∈，若12x x <，有12()()f x f x <”的否定 ； 12. 直线23y x =+被圆226260xy x y ++--=所截得的弦长等于________ ；13.命题“(0,)x ∃∈+∞，使得232a x x--<”成立的充要条件是 ；14.若双曲线过点(2,3)，且渐近线方程是22y x =±，则这条双曲线的标准方程为 ；15.如图所示,E 、F 分别是边长为1的正方形SD 1DD 2边D 1D 、DD一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D.给出下列命题: ①SD ⊥平面DEF; ②点S 到平面DEF 的距离为2; ③DF ⊥SE; ④该几何体的体积为112, 其中正确的有三.解答题(本大题共6小题,共75分.请你注意解答本题时,一定要详细地写出文字说明、证明过程及演算步骤等) 16.(本大题满分12分)命题P ：双曲线221y x m-=命题Q ：关于x 的不等式240mx x m ++<在x R ∈上恒成立.若()P Q ⌝∧为真命题，求实数m 的取值范围.17.(本大题满分12分)已知点(2,0)A -与点(2,0)B ，P 是动点，且直线AP与BP 的斜率之积等于34. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程； (Ⅱ)点O 为原点，当2OP =时，求第二象限点P 的坐标.18.(本大题满分12分)如图，点(0,3)A ，直线:330l x y -+=，设圆C 的半径为1，圆心在l 上. （Ⅰ）若圆心C 也在直线10x y -+=上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （Ⅱ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.19.(本大题满分13分)如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=o，2,BC AD =E 为棱BC 中点，PAB PAD ∆∆与都是边长为2的等边三角形.（Ⅰ）证明：AE ∥平面PCD （Ⅱ）证明：;PB CD ⊥（Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离.20.(本大题满分10分) 已知抛物线2:2C xpy =与直线21y x =-相切（Ⅰ）求抛物线C 的方程.（Ⅱ) 过点(0,1)作直线交抛物线C 于,A B 两点.若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求MN 的取值范围.21.(本大题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;(II) 直线:(0)l y kx b b =+≠与椭圆交于,A B 两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，若3OP OE =u u u r u u u r，求AOB ∆的面积.理数答案1～10 BCBBA BDADA11. 12,x x R ∃∈，若12x x <，有12()()f x f x ≥12. 5;13. {a a a <>;14.22124y x -=;15. ①③ 16．解：1P m ⇔>真 ………………………………3分∴1P m ⇔≤假 ………………………………5分 又2Q m ⇔<- ………………………………8分 若()P Q ⌝∧为真命题，则P ⌝真且Q 真，即P 假且Q 真 …………………………9分∴1()22m P Q m m ≤⎧⌝∧⇔⇔<-⎨<-⎩∴所求实数m 的取值范围为(,2)-∞- ………………………………12分 17.（I ）解： 设点P 的坐标为(,)x y由题意得003224y y x x --⋅=+-，化简得 22143x y -=. 故动点P 的轨迹方程为()221243x y x -=≠± （没写2x ≠±不扣分） …………6分 （II）∵OP ==22234x y += ………① ………………8分 又由（I ）知22143x y -= ………② ………………9分由①②得225342x x y y ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩， ………………11分 又点P 在第二象限内 ∴点P的坐标为⎛ ⎝⎭………………12分 18解（Ⅰ）由33010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得圆心(0,1)C ………………………………1分∴圆C 的方程为22(1)1x y +-= ………………………………2分 故切线斜率存在，可设切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=∴圆心C 到直线l1=，故1k =± ………………………………5分∴切线方程为3y x =±+ ………………………………6分 （Ⅱ）可设圆C 的方程为223()()13a x a y +-+-=，(,)M x y 则由2MA MO ==22(1)4x y ++= …………………8分 ∴点M 在圆22(1)4x y ++=上∴圆C 与圆D 有公共点，即圆心距有13CD ≤≤，13≤≤ ………10分故661010a ---+≤≤∴所求圆心C 的横坐标a的取值范围为⎣⎦……………12分19（Ⅰ）证明：∵90ABC BAD ∠=∠=o， ∴AD ∥BC又2,BC AD = ∴ABED ，AECD 为平行四边形 ∴AE ∥CD 又AE ⊄平面PCD∴AE ∥平面PCD ………………………………4分 （Ⅱ）证明：连接BD 交AE 于O ,连接OP ，由（Ⅰ）知ABED 为平行四边形又PAB PAD ∆∆与都是边长为2的等边三角形，90ABC BAD ∠=∠=o，∴ABED 为正方形，故AE ⊥BD ① …………………………6分 ∵PAB PAD ∆∆与都是边长为2的等边三角形 ∴PA PB PD ==, OP BD ⊥ 又ABED 为正方形，OA OB OD == ∴△POA ≌△POB ≌△POC即有90POA ∠=o，故AE ⊥OP ② ………………8分由①②得AE ⊥平面PBD又由（Ⅰ）知AE ∥CD ，故CD ⊥平面PBD ∴CD ⊥PB ,即PB CD ⊥，得证 ………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点P 到底面ABCD的垂线即为PO ==又△ACD 中，12222ACD S ∆=⨯⨯=∴13A PCD P ACD ACD V V S PO --∆==⨯= 由（Ⅱ）知CD ⊥平面PBD ，故90PDC ∠=o,CD AE ==∴△A中，122PCD S ∆=⨯=设求点A 到平面PCD 的距离为h，则13A PCD PCD V S h -∆=⋅=，故1h =…………13分 另解：由（Ⅰ）知AE ∥平面PCD ，即求点O 到平面PCD 的距离 又由CD ⊥平面PBD ，故PCD ⊥平面PBD 即求△POD 中点O 到边PD 的高，即为120解（Ⅰ）由2221x py y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2420x px p -+= ………………………………2分∵抛物线2:2C xpy =与直线21y x =-相切∴21680p p ∆=-=，故12p =或0（舍） …………………………………4分 ∴抛物线C 的方程2xy =. …………………………………5分（Ⅱ）由已知直线AB 斜率存在，设为k ，即方程为1y kx =+由21x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得210x kx --=，设221122(,),(,)A x x B x x ， 则有1212,1x x k x x +==- ……………………………………7分 又直线,AO BO 方程分别为1y x x =，2y x x =，与直线:2l y x =-联立， 得121M x x =-，221N x x =-,故12121212222111()M N x x x x x x x x x x --=-=---++……9分又12x x -==……………………………………10分M N MN x =-==>0k ≠）∴MN的取值范围为)+∞ ……………………………………13分21解：（Ⅰ）由已知可设椭圆标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c …………1分∴22b =，2c e a ==，故得1a b c === ∴椭圆C 的方程2212x y += ……………………………………3分 (II) 由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)42(1)0k x kbx b +++-= ……………………………4分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122242(1),1212kb b x x x x k k -+=-=++故121222()212by y k x x b k+=++=+ ………………………………7分 ∵E 为线段AB 的中点 ∴121222E E x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩若3OP OE =u u u r u u u r，则P P x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由点P 在椭圆上得2212P P x y += ∴2222222843(12)(12)k b b k k +=++，即有224123k b += …………………………10分又AB ===点O 到边AB的距离h ==124OAB S AB h ∆=⋅= …………13分。