来确定。
第四章 弹塑性波的相互作用
于是可得：
X S X Q C(Q )(tS tQ ) X S X R C( R )(tS tR )
S Q R a S Q R a
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
解abdc区这类在两条不 同系的特征线上给定 v 和 ，则可在以这两条 特征线和经过它们端点 的另两条特征线为界的 曲线四边形中求得单值 解的问题，常称为 Darboux问题或特征线 边值问题。
两弹性波波相遇后t2时刻应力图
两弹性前驱波首先相 遇于a点。两波相遇界面的 右侧有：
5
1
5 1 0C1
Y
5 Y 0C1
，
两波相遇界面的左侧有：
5 2
5 2 0C1
Y
5 Y 0C1
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
5 5 5
5 5 5
X
E
X
d dX
m
Em
0C02
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
如果X点和X +dX 两点卸载开始时的 分m 别如图中的a点和b点所示，某时刻t此两点 的卸载应力 分别如图中i点和h点所示，则表
达式 /中X 各项的意义如图中所示。
X
E
X
d dX
m
Em
b1
0C02
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-2 卸载波的控制方程 和特征线
弹塑性材料在加载和卸载时遵循不同 的应力应变关系，因而相应地有不同的控 制方程。
X
d m
dX
0C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
卸载时杆的运动学方程和动力学
方程和加载时相同，连同卸载应力应
变关系就可列出卸载区的控制方程组
为：
t X
0
t
X
m E( m )
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
X t
t
C02
X
1
0
d m
dX
C02
d
m
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
一维应力下弹性卸载的应力应变关系
用字母上加一横来表 示卸载后的量，则一维 应力下弹性卸载的应力 应变关系可写作：
m E （ 4-1m）
第四章 弹塑性波的相互作用
对卸载区而言， m 和 m 都只是X的 函数，与t无关。
上式对t和X分别求导可得：
t
E
t
0C02
t
由上述四个方程联立求解得：
5 0
5
Y
0C1Y
(1
C1 )Y C0
第四章 弹塑性波的相互作用
内反射与入射塑性波相遇后t3时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
入射塑性波相遇后t4时刻应力图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性强间断加载波相互作用的 ~ v 图
第四章 弹塑性波的相互作用
1．强间断弹塑性波的迎面加载 先讨论线性硬化材料的情况，
这时弹性波速 C0 ( E / 0 ) 和塑性波 速 C1( E1 / 0 ) 都是恒值。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为l 的均匀等截面杆， 原先处于静止的自然状态。两端同时 受到突加恒速冲击载荷，其值在右端 为 v3 0 ，在左端为 v4 0 。于是在 杆中有迎面传播两强间断弹塑性拉伸 波。
第四章 弹塑性波的相互作用
t t1 时，1区和2区的状态有:
1
Y，1
Y
Y E
1
Y0C0Y Nhomakorabea2 *2 * E1 (1 E1 1 E )Y
2
1
0C0
1
0C1
Y
* 0C1
*
第四章 弹塑性波的相互作用
当 t t1 时 ,卸载区3区的状态有：
3 0 3 2 2 E *
3
2
2 0C0
第四章 弹塑性波的相互作用
强间断弹塑性加载波相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
两波相遇前，和弹塑性简单波的情
况完全一样。图中0，1、2、3、4各区
的状态均可作为已知，即：
0 0 0
1
2
Y，1
2
Y
0C0
3 1 0C1(3 1)
4 2 0C1(4 2 )
第四章 弹塑性波的相互作用
第四章 弹塑性波的相互作用
消去 ，则得
t
0C02
X
X
0
t
第四章 弹塑性波的相互作用
也可以表示为以位移为未知函数 的两阶偏微分方程：
2u t 2
C02
2u X 2
1
0
d m
dX
C02
dm
dX
第四章 弹塑性波的相互作用
采用特征线法求解，可得对应的特 征线方程和特征线上相容条件。
dX C0dt
第四章 弹塑性波的相互作用
2．弱间断弹塑性波的迎面加载
递减硬化材料(d 2 / d 2 0) 的弹性波速
C0 (
E / 0 )是恒值，但塑性波速 C()
1 d d
不再是恒值，塑性波以连续波的形式传播。
第四章 弹塑性波的相互作用
设有一长为 l 的递减硬化材料 等截面杆，原先处于va ( 0) ， a ( 0) 的状态。右端受到渐加冲击载荷到 vb ( va ) ，在左端受到渐加冲击载荷 到 vc ( va ) 后保持恒值，于是在杆 中迎面传播两束弱间断弹塑性拉伸 波，在相遇前都是已知的简单波。
d d b 0C
对于杆的左侧有 ：
d c
d d c 0C
第四章 弹塑性波的相互作用
在界面上应满足质点速度相等 和应力相等条件，即有：
vd vd vd
d d d
由上述四个方程联立求解得 vd， 和 d 。
第四章 弹塑性波的相互作用
如果用 来表示，则上四式可化为：
d b
弹塑性波在固定端的反射
带有(”)的区域 都是恒值区，在平 面上正负特征线都 是直线，在状态平 面上只对应于一点。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
带有(’)的区域都是 简单波区，它总是和 恒值区相邻出现。
在状态平面上它 对应于一线段。如果 这线段是正向的，则 平面上的负向特征线 族为直线，而另一族 特征线为曲线。
即：
R
d
a
2b
a
2 I
弹塑性波在刚壁反射后应力 扰动值加倍。
第四章 弹塑性波的相互作用
递减硬化弹塑性材料有限长杆， 其左端(X=0)固定，右端(X=L)在t=0 时受一突加恒速撞击。弹塑性波在 固定端和撞击端间来回反射而逐渐 增强。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
在应力波到达 固定端之前，在弹 性前驱波波阵面LA 上，应力、应变、 质点速度分别从零
第四章 弹塑性波的相互作用
§4-3 追赶卸载
一线性硬化材料的半无限长杆，原来 处于静止的自然状态，在t = 0时受一突加 恒值冲击载荷 ，经过时间t1后又突然卸 载到零。
在两杆突然相撞后又突然跳开的情况 下就会遇到这类问题。
第四章 弹塑性波的相互作用
加载扰动和卸载扰动都以强间断 波阵面的形式在杆中传播，并且卸载 扰动的传播快于塑性加载扰动的传播。
(d a ) (c a ) (b a )
第四章 弹塑性波的相互作用
弱间断弹塑性波的迎面加载 ，引 入 来代替 ，就可应用叠加原理来 求解。
第四章 弹塑性波的相互作用
有限差分数值法求解弱间断弹塑性波相互作用
把特征线ab和ac分 别分成m段和n段 ，经 过ab线上诸分割点的左 行特征线和经过线ac上 诸分割点的右行特征线 将把区域划分成许多小 网格，而网格内的质点 速度和应力可以近似地 看作是均匀的。
第四章 弹塑性波的相互作用
三种类型的定解问题：
Cauchy问题(初值问题)； Picard问题(混合问题)； Darboux问题(特征线边值问题)。
第四章 弹塑性波的相互作用
3．弹塑性加载波在固定端的反射
弹性波在刚壁(固定端)的反射，等 同于两应力值相同弹性波的相互撞击。
和弹性波相似，弹塑性波在刚壁 (固定端)的反射，也等同于两应力值相 同弹塑性波的相互撞击。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
不带(”)和(’) 的区域都是混合 波区，在物理平 面和状态平面上 有一一对应的区 域。
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性波在固定端的反射
第四章 弹塑性波的相互作用
d
C0d
1
0C0
d m
C0d m
dX C0dt
d
1
0C0
d
第四章 弹塑性波的相互作用
以 和 v 为未知函数的控制方程
组及其相应的特征线方程组，与弹性 波中的形式完全一致，这是弹性卸载 假定的必然结果。
第四章 弹塑性波的相互作用
追赶卸载：在半无限长杆中，杆端先受到 弹塑性加载，然后卸载。由于卸载扰动的 传播比塑性加载扰动的传播快，后发生的 卸载扰动将追上先发生的塑性加载扰动而 相互作用的问题。 迎面卸载：在有限长杆中，由另一端传 来的卸载扰动迎面与塑性加载扰动相互作 用的问题。