§6.2二次函数的图像与性质⑸
【课前自习】
1. 根据y
2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 说明当x ＝ 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3与抛物线 关于x 轴成轴对称；
抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3 与抛物线 关于y 轴成轴对称；
抛物线y ＝－1
2(x ＋1)2－3与抛物线 关于原点对称.
5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的 式.
一、探索归纳：
1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ .
2.你有办法解决问题①吗？
y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是 ，顶点坐标是 .
3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.
练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2
④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式： ，
说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .
练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x
二、典型例题：
例1、用描点法画出y ＝1
2x 2＋2x －1的图像.
⑴用 法求顶点坐标：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.
例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上 ，求抛物线的顶点坐标.
【课堂检测】
1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝x 2－3x －1 ②y ＝x 2＋4x ＋2
2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：
①y ＝－2x 2＋3x －4 ②y ＝1
2x 2－x ＋2
3.用描点法画出y ＝x 2＋2x －3的图像. ⑴用 法求顶点坐标：
⑵列表：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
①抛物线与y 轴交点坐标是 ；
②抛物线与x 轴交点坐标是 ； ③当x ＝ 时，y ＝0； ④它的对称轴是 ；
⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.
【课外作业】
1. 抛物线y ＝3x 2
＋2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x ＝ 时， y 有最 值是 .
2. 函数y ＝－2x 2＋8x ＋8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.
3. 用描点法画出y ＝－12x 2－x ＋3
2
的图像.
⑴用法求顶点坐标：
⑵列表：
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：
①抛物线与y轴交点坐标是；抛物线与x轴交点坐标是；
②当x＝时，y＝0；
③它的对称轴是；
④当x时，y随x的增大而减小.
§6.3二次函数与一元二次方程
一、知识准备
在同一坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋3的图象并回答下列问题：
⑴说出每个图象与x轴的交点坐标？
⑵分析二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的坐标，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有
什么关系?
【归纳】
〖例题解析〗
例1．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为．
〖当堂练习一〗
1.不画图象，你能求出函数y＝x2＋x－6的图象与x轴的交点坐标吗？
2.判断下列函数的图象与x轴是否有交点，并说明理由.
（1）y＝x2－x（2）y＝－x2＋6x－9（3）y＝3x2＋6x＋11
3.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m＝．
例2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为2，求
此抛物线表达式．
〖当堂练习二〗
4.抛物线y ＝3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无
5.如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，点A 、B 均在抛物线上，且AB
与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)
6.二次函数y ＝kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围
．
7.抛物线y ＝x 2－2x －8的顶点坐标是________，与x 轴的交点坐标是________. 8.已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2(m ≠0)与x 轴有两个不同的交点．
（1）求m 的取值范围；（2）判断点P (1，1)是否在抛物线上；
【课后延伸】
①已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .
②已知抛物线y ＝1
2x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．求c 的取值范围 .
③已知函数y ＝mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
④若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，另一个解x 2＝ ．
⑤二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．x 1＝ _________ ，x 2＝ _________ ； （2）写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． _________ ；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；
（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．
⑥阅读材料，解答问题．
例．用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0．
解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3．∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0．∴x2－2x－3＞0的解集是：x＜－1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3＜0的解集是_________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－5x+6＜0．（画出大致图象）．
⑦如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为B(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是_________．
⑧已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.。