突出以函数与导数为主的综合应用
高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问 题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应 用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其 中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可 以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、 数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数 的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在 对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等 式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较 高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力， 体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．
专题一 高考函数与导数命题动向
高考命题分析 函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一； 导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核 心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想 方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更 多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究 函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所 以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思 想、数学方法、能力和素质的主要阵地．
【示例 1】►(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝( A．－3 解析 法一 B．－1 )． C．1 D．3
∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x)
＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选 A. 法二 设 x＞0， 则－x＜0， ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， x≤0 且
1 y＝f(x)x∈ e，e都有公共点？
若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明 理由．
解 (1)由 f(e)＝2 得 b＝2. (2)由(1)可得 f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而 f′(x)＝aln x．因为 a≠0，故 ①当 a＞0 时，由 f′(x)＞0 得 x＞1，由 f′(x)＜0 得 0＜x＜1； ②当 a＜0 时，由 f′(x)＞0 得 0＜x＜1，由 f′(x)＜0 得 x＞1. 综上，当 a＞0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调 递减区间为(0,1)； a＜0 时， 当 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．
②
10 由原点到切线 l 的距离为 ， 10 |m| 10 则 2 ＝ 10 ，解得 m＝± 1. 3 ＋1 ∵切线 l 不过第四象限∴m＝1， 由于切点的横坐标为 x＝1，∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.
(2)由(1)可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 2 ∴f′(x)＝3x ＋4x－4.令 f′(x)＝0，得 x＝－2，x＝3.
高考动向透视 函数的概念和性质
函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基 础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单 调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可 以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏 下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．
解
(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当 x＝1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a＋b＝0.
2 2 当 x＝3时，y＝f(x)有极值，则 f′3＝0，可得
①
4a＋3b＋4＝0. 由①②解得 a＝2，b＝－4. 设切线 l 的方程为 y＝3x＋m
【示例 6】►(2011· 福建)已知 a，b 为常数，且 a≠0，函数 f(x) ＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28„是自然对数的底数)． (1)求实数 b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)当 a＝1 时，是否同时存在实数 m 和 M(m＜M)，使得对每一 个 t∈[m， M]， 直线 y＝t 与曲线
指数函数、对数函数、幂函数
指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指 数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质， 以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数 的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础， 也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此 高考对它的考查也会适当降低难度， 但它仍是高考的热点内容， 重点考查对数函数的图象和性质及其应用．
本小题考查对周期函数的理解与应用， 考查三次方程 根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题 的关键是将 f(x)＝x3－x 进行因式分解，结合周期函数的性质求 出 f(x)＝0 在区间[0,6]上的根，然后将方程 f(x)＝0 的根转化为 函数图象与 x 轴的交点问题．
导数的概念及运算
时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又 f(－x) ＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2 －x，∴f(1)＝－2×12 －1＝－3，故选 A. 答案 A
本题考查函数的奇偶性和函数的求值， 解题思路有两 个：一是利用奇函数的性质，直接通过 f(1)＝－f(－1)计算；二 是利用奇函数的性质， 先求出 x＞0 时 f(x)的解析式， 再计算 f(1)．
2
f(x)和 f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) [－3，－2) ＋ －2 0 极大值
2 －2， 3
2 3 0 极小值
2 ，1 3
－
＋
∴f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝13，
2 95 2 在 x＝ 处取得极小值 f3＝ . 3 27
【示例 5】►已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x ＝1 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3，又坐标原点到切线 l 10 2 的距离为 ，若 x＝ 时，y＝f(x)有极值． 10 3 (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当 x 如下表： x f′(x) f(x) 1 e
1 ，1 e 1 在区间 e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况
1 0
(1，e) ＋
e
－
2 2－ 单调递减 极小值 1 单调递增 2 e
1 2 又 2－ ＜2，所以函数 f(x)x∈e，e的值域为[1,2]．据此可得， e m＝1， 若 M＝2.
则对每一个 t∈[m，M]，直线 y＝t 与曲线 y＝
1 f(x)x∈e，e都有公共点；
并且对每一个 t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线 y＝t 与曲线 y
(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问 题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数 考题显得新颖、生动、灵活． (5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、 数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而 且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化 归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解 决问题的能力和数学素养．
3 3， f′(x0)＝4x0－1＝3， 0＝1， 即 ∴x 将其代入 f(x)中可得 P(1,0)．
答案 (1,0) 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能 力．
利用导数求函数的单调区间、极值、最值
从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、 最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数 为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值 点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把 极值和端点值逐一求出，比较即可．
高考命题特点 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择 题、填空题，又有解答题．其命题特点如下： (1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所 涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖 率依然没有减小．
(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度 的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身 的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对 能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题， 或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透． (3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考 强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方 法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息 处理能力)的综合程度．
从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点 处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数 公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点 既在切线上又在曲线上．
【示例 4】 ►已知点 P 在曲线 f(x)＝x4－x 上， 曲线在点 P 处的切 线平行于直线 3x－y＝0，则点 P 的坐标为________． 解析 由题意知，函数 f(x)＝x4－x 在点 P 处的切线的斜率等于
【示例 2】►(2011· 天津)已知 a＝5 则(b＝5
log43.6
1 ，c＝5log30.3，
A．a＞b＞c 解析
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
因为 c＝5
＝
10 ， log23.4＞log3 3.4＞log3 3 ＞ 又
1＞log43.6＞0，且指数函数 y＝5x 是 R 上的增函数，所以 a＞c ＞b.故选 C. 答案 C
1 ＝f(x)x∈e，e都没有公共点．
综上，当 a＝1 时，存在最小的实数 m＝1，最大的实数 M＝2， 使得对每一个 t∈[m， M]， 直线 y＝t 与曲线 有公共点．