的两项的二项式系数相等,即 17
Cnr
C nr n
.
10
(2)二项式系数的大小规律.
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项
即 18 Tn 1 的二项式系数最大;如果二项式的幂
指数是2奇数;中间两项即 T 19 n1 与 20 Tn11 的二
项式系数相等且最大.
2
2
(3)二项式系数的和
21 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n .
得
B
A．1 x4
B.2 x4
C．x4
D．3 x4
解析 逆用二项式定理可得P 1 1 x4 2 x4 ，
故选B.
3
2. 对任意x R，恒有x3 a0 a1 x 2 a2 x 22 a3 x 23 ，
则a2的值为
B
A．3
B.6
C．9
D．12
解析 由于x3 2 x 23 ，a2为其展开式中含 x 22 项的系数，又T3 C32 232 x 22 ，
二项式展开式的第r+1项是
Tr+1= 13 Cnr an-rbr .
9
4.二项式系数与展开式的系数
第r+1项的二项式系数即 14
C
r n
,而展开
式的第r+1项系数是该项的 15 常数部分 (含
项的性质符号)，是两个不同的概念.
5.二项式系数的性质
(1)二项式系数的结构规律和等量关系.
在二项展开式中,与首末两端 16 “等距离 ”
易错点 展开式中第r 1项的系数与第r 1项的
二项式系数概念混淆．
5
4. 已知(x)n的展开式的二项式系数和为256，则展开
式中含x4的项是第 ___3______ 项．
解析 由已知256 2n，求得n 8.从而由
Tr 1
C8r
gx8r
g1 x
)r
C8r gx82r .令8 2r
4，
当n为偶数时, Cn0＋Cn2 + Cn4 +…+ Cnn = 22
Cn1
Cn3
Cn5
C n1 n
2n1
.
当n为奇数时, Cn0 + Cn2 + Cn4+…+
= C n1 23 n
Cn1 Cn3 Cn5 Cnn 2n1
.
11
题型一 二项式的通项公式及应用
例1 已知( x 1 )n的展开式的第五项和第三项
8
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指 数⑥ n ,即a与b的指数和为n.
(3)字母a按⑦ 降幂排列，从第一项开始，
次数由⑧ 逐n项减1直到⑨ ,字零母b按⑩
排列升,幂从第一项起,次数由
1逐1 项零增1直
到
12 . n
(4)二项式的系数依次为Cn0,Cn1,…,Cnn1,Cnn. 3.二项式的展开式的通项
得r 2，故含x4的项为第3项．
易错点 于通项公式中项数与组合数Crn中r的关系记忆错误，
而误认为“Crn ?对应第r项．
6
5. 设多项式 x2 1 2x 14 a0 a1x a2 x2 a6 x6，
则a0 ____1____，a1 a2 a6 _1_6__1___ .
解得n 5 (舍去)或n 6，a2 270 9，所以a 3.
3
30
16
题型二 可化为二项式问题及解法
例2 1 (2010g辽宁卷) 1 x x2 (x 1)6的展开式 x 中的常数项为___________.
3x2 的二项式系数比为14∶3，则：
1 展开式中二项式系数最大的项为 __________ ； 2 展开式中的常数项为 __________ ； 3展开式中有 __________ 项有理项．
12
解析
依题设，Cn4 14， Cn2 3
即 nn 1n 2n 3 2 1 14，
43 21
故a2 C32 232 6，故选B.
易错点 误将x3转化为2 x 23 而计算错误．
4
3. 二项式a 2bn 的展开式中第二项的系数为8，
则它的第三项的二项式系数为
D
A．24
B．18
C．16
?D．6
解析 通项Tr1 Cnr anr 2b r Cnr 2r anrbr，可知
8 C1n 21，解得n 4，故第三项的二项式系数为 C62 6，故选D.
解析 (赋值法)令x 0得a0 1.令x 1得
a0 a1 a2 a6 12 1 (2 1 1)4
= 2 34 162， 故a1 a2 a6 161.
7
1.二项式定理 (a+b)n=① Cn0 an+ Cn1an-1b1+ Cn2 an-2b2+….
+ Cnran-rbr+…+ Cnnbn(n∈N*) . 这个公式所表示的定理叫做② 二项式定理 , 右边的多项式叫做(a+b)n的③ 展开式 .特别 地,(1±x)n=④ 1± Cnx1 + Cnx2 2±…+(±1)n Cxnn . 2.展开式的特点 (1)共有⑤ n+1 项.
(
1 3x2
)
r
(1)r 3
C1r0
5 5r
x2
.
令5 5r 0，得r 2. 2
13
故展开式中的常数项为T3
(
1)2 3
C120
5，故填5.
3
由
2
Tr 1
(1)r 3
C1r0
5- 5 r
x2
.
由5 5r Z，则r 0, 2, 4, 6,8,10. 2
因此可知展开式中的有理项共有6项，故填6.
1
1.掌握二项式定理及其通项公式， 并会利用二项式定理及其通项公式解决 有关多项式化简和展开式的项或项的系 数相关的问题.
2.掌握二项式系数的相关性质，会 求展开式的系数和，能利用二项式定理 进行近似计算、证明整除问题，证明不 等式等综合问题.
2
1.化简P 1 41 x 61 x2 41 x3 1 x4
nn 1 3
化简得n 2n 3 8 7，因此n 2 8，故n 10.
1 (
x
1 3x2
)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，
且T6 C150 (
x )105 ( 1 )5 28 x 15，故填 28 x 2
2
由Tr 1
10r
C1r0 x 2
评析 涉及二项式展开式的系数、次数、项的性质
(常数项、有理项等)，则应用?通项公式”．
14
1
素材1 设a＞0，若(1 ax 2 )n 展开式中含x2的项的系数
等于含x的项的系数的9倍，且展开式中含x的项的系数 为135，求a的值．
解析
15
所以 n 2n 3 2 ，化简得3n2 23n 30 0. nn 1 5