π 已知函数f(x)＝sin(2x＋ )． 3 (1)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π ]上的图象． π π π 【解】 (1)由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z) 2 3 2 5π π 得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 12 12 5π π ∴所求单调增区间为[kπ－ ，kπ＋ ](k∈Z)． 12 12
•(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求 h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高 点时用的最少时间是多少？ •【思路点拨】
【尝试解答】 (1)以圆心O为 原点，建立如图所示的直角坐 标系，则以Ox为始边，OB为终 π 边的角为θ－ . 2 π 故点B的坐标为(4.8cos(θ－ )， 2 π 4.8sin(θ－ ))， 2 π ∴h＝5.6＋4.8sin(θ－ )． 2
π π 7π (2)∵0≤x≤π，∴ ≤2x＋ ≤ . 3 3 3
•列表如下：
π 2x＋ 3 x y π 3 0 3 2 π 2 π 12 1 π π 3 0 3π 7π 2π 2 3 7π 5π 12 6 －1 0 π 3 2
•画出图象如图所示．
• (1)(2013·深圳模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋ φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图 象如图3－4－3所示，则f(0)的值是 ________．
π π 【解析】 (1)∵y＝sin(2x－ )＝sin 2(x－ )， 3 6 π ∴只需将函数y＝sin 2x的图象向右平移 个单位． 6 π 1 (2)将函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位后，得到 2 2 π 1 的图象解析式为y＝ sin(x－ )，再把得到的图象横坐标缩 2 2 π 1 1 短到原来的 后得到的图象解析式为y＝ sin(2x－ )． 2 2 2
•作出函数y＝f(x)的图象如图所示：
π 1．寻找[0，π ]上的特殊点时，可先求出2x＋ 的范 4 围，在此范围内找出特殊点，再求出对应的x值． 2．用“五点法”作图应注意四点：(1)将原函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞ 2π 0)的形式；(2)求出周期T＝ ；(3)求出振幅A；(4)列出一 ω 个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时， 应列出该区间内的特殊点和区间端点．
【答案】
C
3．(2012· 安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象， 只要将函数y＝cos 2x的图象( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 1 1 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 2 2
1 【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋ )， 2 1 ∴只要将函数y＝cos 2x的图象向左平移 个单位. 2
1 【解析】 由题意知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝ ， 2 π π 又|φ|＜ ，∴φ＝ ，又T＝6，故选A. 2 6
【答案】
A
1 2．把y＝sin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得 2 到y＝sin ω x的图象，则ω的值为( ) 1 A．1 B．4 C. D．2 4
1 【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x变为 x，故得 2 1 到的函数解析式为y＝sin x . 4
ω
根据函数图象的对应关系，
π 得2× ＋φ＝2kπ＋π， 3 π π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z.令k＝0，取φ＝ . 3 3 π ∴函数解析式为f(x)＝ 2sin(2x＋ )， 3 π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2 π (2)由题意知，Asin( ×2＋φ)＝A， 6 π π π ∴sin( ＋φ)＝1，又0＜φ＜ ，∴φ＝ ， 3 2 6 ∵周期T＝12，∴Q(8，－A)，
π (1)(2013· 惠州调研)要得到函数y＝sin(2x－ )的图象， 3 只需将函数y＝sin 2x的图象( ) π π A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 12 12 π π C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 6 6
(2)已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变， 将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x轴向左平 π 1 移 个单位，得到的图象与y＝ sin x的图象相同，则y＝f(x) 2 2 的函数表达式为( ) π π 1 1 1 A．y＝ sin( x－ ) B．y＝ sin 2(x＋ ) 2 2 2 2 2 π π 1 1 1 C．y＝ sin( x＋ ) D．y＝ sin(2x－ ) 2 2 2 2 2
(1)f(x)＝cos2x－sin2x－2sin xcos x 2 2 ＝cos 2x－sin 2x＝ 2( cos 2x－ sin 2x) 2 2 π ＝ 2cos(2x＋ )． 4 【尝试解答】
•(2)列表：
π 2x＋ 4 x f(x) π 4 0 1 π 2 π 8 0 π 3 π 8 － 2 3 9 π 2π π 2 4 5 7 π π 8 8 0 2 π 1
•【思路点拨】 (1)观察函数f(x)的图象特征， 可求A、T，根据图象过定点可求φ，最后求 f(0)． •(2)根据图象过点P(2，A)可求φ，根据周期 可求点Q的横坐标，解直角三角形求A.
【尝试解答】 T＝π， 2π 又T＝ ，∴ω＝2， T 7π π π (1)由题图知A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4
第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用
•1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，x≥0) 表示一个振动量时 周期 频率 相位 初相 φ
2π ω ω x＋ 1 T＝___ f＝ ＝___ ω T 2π φ
A
•2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的 简图 •用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简 图时，要找五个关键点，如下表所示
•1．三角函数模型在实际中的应用体现在两 个方面：一是已知三角函数模型，准确理解 自变量的意义及自变量与函数之间的对应法 则，二是把实际问题抽象转化成数学问题， 建立三角函数模型，再利用三角函数的有关 知识解决问题，其关键是合理建模． •2．建模的方法是，认真审题，把问题提供 的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”， 这个过程就是数学建模的过程．
π π (2)已知函数f(x)＝Asin( x＋φ)(A＞0，0＜φ＜ )的部 6 2 分图象如图3－4－4所示，P、Q分别为该图象的最高点和最 低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2，0)．若∠PRQ 2π ＝ ，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( ) 3 π π A．2 3， B. 3， 6 3 π π C. 3， D．2 3， 6 3
•如图3－4－5是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞ 0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、 初相各是( )
4π π A．A＝3，T＝ ，φ＝－ 3 6 4π 3π B．A＝1，T＝ ，φ＝ 3 4 4π 3π C．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 4 4π π D．A＝1，T＝ ，φ＝－ 3 6
【答案】
(1)D
(2)D
• 已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－ sin2x.
•(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； •(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
•【思路点拨】 (1)运用二倍角公式及两角和 与差的余弦公式化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； •(2)在表中列出[0，π]上的特殊点及两个区间 端点，根据变化趋势画出图象．
•3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋ φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 •(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平 移
•1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首 先确定哪些数据？
π 3π 【提示】 先使ωx＋φ等于0， ，π， ，2π，然 2 2 后求出x的值．
•2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与 “先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平 移的单位个数为什么不一样？
2 A. 3
4 B. 3
3 C. 2
D．3
【思路点拨】 (1)写出变换后的函数解析式，再根据 图象变换找图象； (2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍．
【尝试解答】
(1)y＝cos 2x＋1
y＝cos x y
＋1 y＝cos(x＋1)＋1 ＝cos(x＋1)． 结合选项可知应选A.
4 (2)设函数的周期为T，由题意知kT＝ π，k∈Z，∴T＝ 3 4π ， 3k 3 ∴ω＝ k，k∈Z，且ω＞0. 2 3 ∴k＝1时，ω有最小值 . 2
π π 再由2× ＋φ＝ ， 3 2 π 得φ＝－ . 6
【答案】
D
• (1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度， 再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )
π (2)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋ )＋2的图象向右平移 3 4π 个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( 3 )
π 2 ∵∠PRQ＝ π，∴∠xRQ＝ ， 3 6 π A ∴tan ＝ ，∴A＝2 3. 6 6 π 因此函数f(x)的最大值为2 3，φ＝ . 6
6 【答案】 (1) 2
(2)A
1．求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ 时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 2．用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第 一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx＋φ＝0.“第二点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝ π ；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝ 2 3π π ；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝ ；“第 2 五点”时ωx＋φ＝2π .
【答案】
(1)A
(2)C
对y＝Asin(ω x＋φ)进行图象变换时应注意以下两点： (1)平移变换时，x变为x± a(a＞0)，变换后的函数解析式 为y＝Asin[ω(x± a)＋φ]； x (2)伸缩变换时，x变为 (横坐标变为原来的k倍)，变换 k ω 后的函数解析式为y＝Asin( x＋φ)． k