2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ）第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r.（3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r，方向任意.（5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

（7）向量的加减法①共起点的向量的加法：平行四边形法则②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点.如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r是平面内两个不共线的向量，a r为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得1122a e e λλ=+u r u u r r，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的坐标运算??①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±rr ；()()1111,,a x y x y λλλλ==r，②(),B A B A AB x x y y =--u u u r，AB =u u u r③(),a x y =r ，则a =r3. 平面向量的数量积①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ⋅=r r r r （θ为向量a r与b r 的夹角，[]0,θπ∈）； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ⋅=+rr ；③22a a a a =⋅=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr（θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角⇔0a b ⋅r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角⇔0a b ⋅r r p ，且a r与b r 不反向；θ为直角⇔0a b ⋅=r r （θ为向量a r与b r 的夹角）.4.向量的平行：① a r ∥b r a b λ⇔=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r∥b r 1221x y x y ⇔=5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r rr r第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.考点1：平面向量的有关概念 例1．给出下列命题：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相反或者相同；②ABC ∆中，必有0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB DC =u u u r u u u r④若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a 、b 之一方向相同．其中正确的命题为________． ②③变式训练： 1.给出下列命题：①向量AB u u u r 与向量BA u u u r 的长度相等，方向相反；②0AB BA +=u u u r u u u r r ；③a r与b r 平行，则a r与b r 的方向相同或相反；④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同；⑤AB u u u r与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线.其中不正确的个数是（ ）A .2B .3C .4D .52.已知下列命题：①若k R ∈，且0kb =r r ，则00k ==r r或b ；②若0,=00a b a b ==r r r r r rg 则或；③若不平行的两个非零向量a b r r ，，满足=a b r r ，则()()+-0a b a b =r r r r ；④若a r r 与b 平行，则a a b =r r r r g b ，其中真命题的个数是（ ）A .0B .1C .2D .33.给出下列命题：①若=a b r r，则=a r r b ；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若=,a c =r r r rb b ，则ac =r r ；④a=r r b 的充要条件是=a b r r 且a r ∥r b ；⑤a r ∥r b ，rb ∥c r ，则a r ∥c r .其中正确命题的序号是（ ）A .②③B .①②C .③④D .④⑤考点2：平面向量的线性运算例2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是______．①AB →=DC → ②AD →＋AB →＝AC → ③AB →－AD →＝BD → ④AD →＋CB →＝0例3.在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →，在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →FD CBA＝2a －b －23b ＝2a －53b .例4.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =u u u r u u u r ，1,3CD CA CB λ=+u u ur u u u r u u u r 则λ＝_______.解析 由图知CD CA AC =+u u u r u u u r u u u rCD CB BD =+u u u r u u u r u u u r 且A D →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.变式训练：4.设P 是△ABC 所在平面内的一点，7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r5.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r6.若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u rB ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u rC ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u rD ．EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r①②7. 已知ABC ∆所在平面上有一点P 满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r,则P 与ABC ∆的位置关系是（ ）A ．P 是AC 边上B ．P 在AB 边上或其延长线上C ．P 在ABC ∆的内部D ．P 在ABC ∆的外部8.在ABC △中，AB c =u u u r ，AC b =u u u r ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r=（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +9.（2010湖北文理数）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r.若存在实m使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r成立，则m =（ ）考点3：平面向量的基本定理及坐标表示例5.已知()()()2,4,3,1,3,4A B C ----且3CM CA =u u u u r u u u r ，2CN CB =u u u r u u u r，求点,M N 及MN u u u u r的坐标.解 ∵A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)，).6,12(2),24,3()(3),3,6(),8,1(====∴==∴ 设M （x ，y ），则有CM =（x+3，y+4），∴⎩⎨⎧x ＋3＝3y ＋4＝24，∴⎩⎨⎧x ＝0y ＝20，∴M 点的坐标为(0,20)．同理可求得N点坐标为(9,2)，因此=（9，-18），故所求点M 、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2)，的坐标为(9，－18)．变式训练：10.【2012高考广东文理3】若向量BA u u u r=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r =( )A ．（-2,-4）B ． (3,4)C ． (6,10)D ． (-6,-10)11.已知()()1,2,2,8A B -，11,33AC AB DA BA ==-u u u r u u u r u u u r u uu r ,则C 点的坐标为___________；D 点的坐标为___________；CD uuu r点的坐标为___________.12.设向量,a b r r 满足||(2,1),a b ==r r且a b r r 与的方向相反，则a r 的坐标为 ．考点4：平面向量的平行与垂直问题例 6.已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===r r r .若λ为实数，()a b λ+r r ∥c r，则λ=( )A ． 14B ．12C ．1D ．2例7.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 ． 变式训练：13.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ ）（A ）17- （B ）17（C ）16- （D ）1614.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．215.在平面直角坐标系中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，O 为坐标原点，设向量OA u u u r ＝2i ＋j ，OB uuu r＝3i ＋k j ，若A ，O ，B 三点不共线，且△AOB 有一个内角为直角，则实数k 的所有可能取值的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 16.设12,e e u r u u r 是两个不共线的向量，已知1228AB e e =-u u u r u r u u r ,123CB e e =+u u u r u r u u r ,122CD e e =-u u u r u r u u r（1）求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若123BF e ke =-u u u r u r u u r，且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.17.在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。