常考题型大通关：第14题 平面向量
1、已知向量(,1),(4,2)a x b ==-,若//a b ,则a b +=_________.
2、设向量(),,11,2()a m b ==，且222a b a b +=+，则m =___________________________
3、已知非零向量,a b 满足71,71a b =+=-,且4a b -=,则a b +=_________.
4、若向量,a b 满足8,12a b ==,则a b +的最小值是_________;当非零向量,a b (,a b 不共线)满足__________时,能使a b +平分,a b 的夹角(AOB ∠是向量,OA OB 的夹
角,0180AOB ︒≤∠≤︒). 5、在菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒,2AB =,则BC DC +=__________.
6、已知向量()1,2a =-，3b =，7a b -=，则|a b +=____________．
7、已知向量,a b 满足1,1a b ==，a 与b 的夹角为60°，则2a b +=__________．
8、已知平面向量,a b 满足2,4,2a b a b ==+=则a 与b 的夹角为_______. 9、已知平面向量(1,3),(3,1)a b =-=-,则a 与b 的夹角为__________
10、已知向量(2,3)a =-,(3,)b m =,且a b ⊥,则m =__________.
11、已知()()1,21,2,2a m b m =-=--,若向量//a b ,则实数m 的值为__________.
12、向量()()1,1,1,0a b =-=,若()()
2a b a b λ-⊥+,则λ=__________. 13、若2sin15a =︒,4cos15,b =︒a 与b 的夹角为︒30,则a b ⋅的值_______________ 14、设()5,2a -＝，()6,2b ＝，则212|a|a b 2
-⋅＝______________. 15、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ⋅=，则PC 的取值范围是 。

答案以及解析 1答案及解析： 答案：5
解析：由//a b ,得24x -=,即2x =-,则(2,1)a b +=-,所以5a b +=.
2答案及解析：
答案： -2
解析：
3答案及解析：
答案：4
解析：如图所示,设OA a =,OB b =,则BA a b =-.
以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ,则OC a b =+. 由于222(71)(71)4+=,故222OA OB BA +=, 所以OAB △是直角三角形,90AOB ∠=︒,
从而OA OB ⊥,所以平行四边形OACB 是矩形.
根据矩形的对角线相等得4OC BA ==,即4a b +=.
4答案及解析：
答案：4;a b =
解析：由已知及向量的三角形不等式,知a b b a +≥-,当且仅当a 与b 反向时,等号成立,故a b +的最小值为4.由向量加法的平行四边形法则,知a b =时,平行四边形为菱形,对角线平分一组内角.
5答案及解析：
答案：23
解析：如图所示,设菱形对角线的交点为O .BC DC AD DC AC +=+=.
∵60DAB ∠=︒,∴ABD △为等边三角形. 又∵2AB =,∴1OB =.
在Rt AOB △中,22
3AO AB OB =-=∴223AC AO ==即23BC DC +=
6答案及解析：
答案：3
解析：
7答案及解析： 7 解析：
8答案及解析：
答案：
π3 解析：243,a b +=224448,a b a b ∴++⋅=即4416448,a b ⨯++⋅=解得4,a b ⋅=因此41cos ,,242a b a b a b ⋅===⋅⨯则a 与b 的夹角为π.3
9答案及解析：
答案：56
π 解析：
10答案及解析：
答案：2
解析：因为a b ⊥,所以0a b ⋅=,得630m -+=,所以2m =.
11答案及解析：
答案：0m =或52
m =
解析：
12答案及解析：
答案：3 解析：由于()()2,1,22,2a b a b λλ-=-+=-+,
则由()()2a b a b λ-⊥+
可得()()
()22220a b a b λλ-⋅+=--++=,
解得3λ=.
13答案及解析：
解析：
14答案及解析： 答案：45
解析：
15答案及解析：
答案：⎤⎦
解析：以点A 为坐标原点，AB AC ,所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(如图)，
则()()(00202)0A B C ,,,,,.设()P x y ,，则由1PA PB ⋅=得，
()(2)x y x y ---⋅-,,2221x x y =-+=， 则点P 的轨迹方程是()2
212x y -+=，
轨迹是位于三角形内(含边界)的一段圆弧.
设点F 为其圆心，则0(1)F ,
，如图.当点C P F ,,共线时，
min CP CF PF =-，当点P 的坐标为(0)1,
时，
CP 取得最大值1.故CP 的取值范围是⎤⎦.。