二项展开式系数的求法
苏清军
(山东省无棣二中,山东　251913)
中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01
收稿日期:2001-01-05
作者简介:苏清军(1969—
),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m
(c +d )n 、
(a +b +c )n
等,多有畏难
情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时
参考.
1　有效展开　
对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.
例1　求(1+x )2
(1+2x )5
展开式中x 3
的系数.
解　(1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x
+40x 2
+80x 3
+…
),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.
2　利用通项公式　
即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.
例2　在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.
解　展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5
的通项公式为
R m +1=C m
5(-2x )
m
,
二项式(1+3x )4
的通项公式为
R n +1=C n
4(3x )n
.
(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)
T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n
4(3x )
n
=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n
,
令m +n =2,解得
m =0,
n =2,或
m =1,
n =1,或
m =2,
n =0.
所以(1-2x )5(1+3x )4
展开式中第三项的系
数为
C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2
·
30=54-120+40=-26.3　利用求组合数的方法　
这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.
例3　(1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4
的展开式中,x 3的系数是
.
解　利用组合知识.
展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3
四种情况.
所以x 3的系数是
C 3
6+C 2
6·C 1
4·(-1)+C 1
6·C 2
4(-1)2
+C 0
6·C 3
4(-1)3
=20-60+36-4=-8.
例4　(1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5
的展开式中x 的系数为
( )
(A )160.　(B )240.　(C )360.　(D )800.
分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.
若借用组合知识解决可省却很多麻烦.
解　根据三项的特点,展开式中x 项只能源于
3x ·2·2·2·2,
所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5　求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.
解　利用组合知识,x 3y 2z 的系数为
C 36·23·C 2
3·
(-3)2·(-4)
=-17280.7
2001年第12期 数学通讯。