导数中的含参分类问题
成都七中 数学组 祁祖海
例.设f ( x)= 1 x2 (a 1)x a ln x (a 0),求f ( x)的单减区间. 2
解：f ( x)=x (a 1) a x
2)当a 1，f ( x) 0,
f ( x)= x2 (a 1)x a x
1)当a 1时, f ( x) 1 1 0， 1 0
a f ( x)在(0, 1 1)单增，
f ( x)在[0, )上单减，
a
f ( x) f (0)=0，满足题设；
f ( x) f (0) 0,
由题设知，ln(1 1) a 1,即a 0, 不满足题设.
综上，f
( x)min

e a, a a lna,
a e, a e.
其实，当a e时,a e,且x 1, f ( x) e x a e x e e1 e 0.
思考：导数问题中常见分类关键点有哪些 1.导数零点是否存在？ 2.导数零点是否在定义域内？ 3.导数零点在定义域内有几个，大小如何？
f ( x)无单减区间； 3)当a 1，
f ( x)= ( x 1)( x a) ( x 0) x
f ( x) 0 1 x a,
1)当0<a 1，
Байду номын сангаас
f ( x)的单减区间为(1,a).
f ( x) 0 a x 1,
f ( x)的单减区间为(a,1)； 综上，L
f ( x)min =f (1)= e a; 2) 当0<a e,
x (lna,), f ( x) 0， f ( x)在(ln a,+)单增，
lna 1, f ( x) 0， f ( x)min =f (ln a)= a a lna.
f f
( x)在[1，+)单增， ( x)min =f (1)= e a;
2)当0<a 1时,
a[ x ( 1 1)]
f ( x)
a
1 x
综上，a 1.
小结： 1.导数含参分类问题，关键要找到分类界点；
2.与导数有关的含参不等式恒成立问题， 本质上是函数最值问题，注意减少分类.
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提醒：导函数的走势(符号)示意图非常重要!!!
练2.当x 0时,不等式ln(1 x) ax 恒成立,求a的取值范围.
解：令f ( x) ln(1 x) ax f ( x) 1 a ax 1 a
1 1 0， a
1 x
1 x
x (0, 1 1), f ( x) 0，
思考：当a 1时, f ( x)的单增区间是什么？
练1.求f ( x)=ex ax 在[1，+)上的最小值.
解：f ( x)=e x a
3) 当a e, lna 1,
1) 当a 0, f ( x) 0， x (1,lna), f ( x) 0，
f ( x)在[1，+)单增， f ( x)在(1,ln a)单减，