汕头市高三理科数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A =｛x| y =1 n(1 -2x)｝，B = ｛x| X _x｝，全集U = AU B，则C u(Ap]B)=()A . (「：,0)B . (-2‘1]C .2—1(-：：,0)U[「1]2D. 1(-評2.复数z = a bi a,b R , i是虚数单位，Z是Z的共轭复数,则下列判断正确的是()A. Z Z是纯虚数B. Z2_0C.Z的虚部为-biD.2若Z ^-1,则z=「i 3.下列叙述中正确的是( )2 A .若a,b, G€ R,贝U G是a, b的等比中项”的充要条件是G =ab”B .在△ABC中，若AB BC ：：：0,则A ABC为钝角三角形C.命题对任意x€ R,有x2> 0的否定是存在x€ R，有x2> 0”D •若a, b是异面直线，直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线4•设a, b是两个非零向量•则下列命题为真命题的是(A.若|a - b|=|a| -|b|C.若a _b，则|a b|=|aHb| 5•已知向量a = (3, - 2), b = (x,8B.8B .若|a +b|=|a|—|b|，则存在实数入，使得a =丸bD •若存在实数人使得a = kb，贝U |a+b|=|a|—|b| y- 1)，且a // b，若x, y均为正数，则D. 246.已知函数f(x)= cosxsin2x,下列结论中错误的是( )A. y= f(x)的图像关于点(n 0)中心对称 B . y= f(x)的图像关于直线x=n对称C. f(x)既是奇函数，又是周期函数 D . f(x)的最大值为-27•如图所示是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD=2,侧视图是一直角三角形，俯视图是一直角梯形，且则异面直线PB与CD所成角的正切值是(AB=BC=1,A. 1 B . 2 CL D .2■ffi視国8. 在等比数列｛ a n｝中，a n>0(n € N )，公比q € (0,1)，且a i a5+ 2a3a5+ a2a8= 25,又a3与a5的等比中项为2,b n = log2 a n，数列｛b n｝的前n项和为S n,则当学+ +…+詈最大时，n的值等于()A.8B.9C.8 或9D. 179. 函数f (x )=x x，若存在1,畑)，使得f (x—2k )—k cO,则k的取值范围是()A. 2,亠]B. 1,亠]C. I 1, .： ： l'D. 11::[0,F )上的函数 f (x)满足 2 f (x^ f (x)=11 ,f(—)-^=，其中f(x)是函数f(x)的导函2 2、、2e10.已知 cos 2 ： " £，则讥—()A. 4 -2 3B.C. 4—4,3D. 4、、3_411.已知数列 比为3:1 , A.1023「a n ?各项为正数，a^1 , △ABC 所在平面上的点 P n n • N ”均满足△ R AB * P .AC 的面积1P n A • — a n 1 RB • 2a n • 1 P n C =0,则 a 10 的值是()3B.1024C.2048D.20491 1 a b数，若对任意正数 a , b 都有f(si n v) " 2 •二2 a e b 64 ，则二的取值范围是( 5■: A . [2 k 二,2k ]U [2k ：："— ,2 k 二二](k Z ) 6 6 C . [2k 二,2k ]U[2k 「： Z ,2k M ：；F ] ( k Z ) 3 3 兀 5兀 B . [2 k ,2 k ] ( k Z )6 62 - D . [2 k ,2 k ] ( k Z )3 3 二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分. 13.已知 y = f(x) + x 2 是奇函数，且 f(1) = 1.若 g(x) = f(x) + 2，则 g(- 1)= 14.若两个向量a 与b 的夹角为二，则称向量“ a b ”为“向量积”， 其长度a 乂 b = ■ b sin8 .已知 a=1,b=5 , ab=-4，贝U a^b = I xg x 亠y 15.已知点P x, y 的坐标满足 y _ x,则一 _____________ __ 的取值范围是 — 2x+1, A y 2 16•如下图所示将若干个点摆成 三角形图案，每条边(色括两个端点)有 n (n>l , n € N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则 9 9 9 9—a 2 a 3 印比 &2017&2018 [来源:Z#xxn=5三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第 22,23题为选考题，每题10分,考生根据要求作答。

17〜21题为必考题，每题 12分,第12.定义在17. (本小题满分12分)已知函数 f x = 2 3sinxcosx-3sin 2x-cos 2x 3.(i)当x时，求f x 的值域；(n)若 MBC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足b=屈sin (2A +C )=2+2cos (A+C 'a sin Av求f B 的值.18. (本小题满分12 分)DO 二 EB =1 , AB = 4.(i)求证：DE _平面AOD ;(n)若AO 二BO ，求平面 AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值19. (本小题满分12分)如图，AB 是圆C 的直径,O 是圆C 上异于 代B 的一点, DO _ BO , DO // EB , AO _ OE ,AD1已知数列:a n/前n项和为S n, 31=-2，且满足S n a n d - n • 1 ( n • N * ).2(I)求数列G n?的通项公式；(n)若b n =log3(-a n V)，求数列；.：；：-「bn -前n 项和为T n.20. (本小题满分12分)X2 y2已知椭圆::- (a b 0)的右焦点F(1,0),椭圆】的左，右顶点分别为M ,N.过点F的直线l与a b椭圆交于C,D两点，且厶MCD的面积是厶NCD的面积的3倍.(I)求椭圆丨的方程；(n)若CD与x轴垂直，A, B是椭圆:上位于直线CD两侧的动点，且满足.ACD=/BCD,试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数f (x)二a x- x2—X ln a (a 0 且a = 1) *昭(I)求函数f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；(n)若存在^,x^ 1-1,1】，使得f (xj —f (x2) ^e—1 ( e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围22 .选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2 1 . 2sin2v - 3，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直「X = t角坐标系，直线I 的参数方程为(t 为参数)•l y =6+t(I)写出曲线 C 的参数方程和直线I 的普通方程；(n)已知点P 是曲线C 上一点，求点P 到直线I 的最小距离.23 .选修4-5 :不等式选讲已知函数 f (x )= x — m + x +彳(m ^ R ), g (x )=|2x —1+3.(I)当m=1时，求不等式f x <5的解集；(n)若对任意的x^ R ，都有X 2 • R ，使得f 为i=g x 2成立，求实数 m 的取值范围.汕头市高三理科数学期末考试参考答案222222 匚可得-嘉，由余弦定理可得co如—i汙=为占=亍 心0.由正弦定理可得sinC =2sinA =1,C =90：,由三角形的内角和可得 B =60；,. f B = f 60 =2.1~12 CDDBC DCCDB AB13. -114. 315.2016 16.201717: ( I )22 1 -cos2x 1 cos2x「xa3sinxcosx -3sinx-cosx3『3sin2x-3 —2-一 -------------------------- 3=3 sin 2x+ cos2x 1 = 2sin 12x —sin 2x -I 丄,1 ,. f x ；=2sin 2x 10,31.小丨I6丿6 2' (n )：sin 2A C =2 2cos AC, sin 2A C ]=2sin A 2sin Acos AC , sin Asin Acos A C cosAsin A C 二 2sin A 2sin Acos AC ,-si n Acos A C cosAsi n A C = 2si nA 即 sin C = 2si nA ，由正弦定理可得 c = 2a ,又由-318. (1)因为AB是圆C的直径，0是圆C上异于A, B的一点，••• AO_BO.又因为DO _ B0，又AO" DO =0，所以B0_平面AOD又因为DO// EB , DO =EB，•四边形BODE是平行四边形.BO// DE,所以DE_ 平面AOD(2)由(1)知AO丄BO ,又因为AO丄OE ,又BO「|OE=O，所以AO丄平面BOED ,•- AO丄OD ,又因为DO丄BO , AO丄BO 所以，以O为原点建立如图所示空间直角坐标系,则A(2.2O,O), D(0,0,1), B(0,2、20), E(02、2,1),AD =(—2返,0,1), DE=(0, 2/2,0),AB =^2.2, 2.2,0) , BE =(0,0,1).设ni = (x, y, z)为平面ADE的法向量，则n1 AD - -2、2x z = 0n1DE = 2 ■< 2y = 0x = 1，得冷=(1,0,2 J2).设n2 = (x i, y i,z i)为平面ABE的法向量，则“2住「2玉2补0，令x1=1,得n2=(1,1,0). n2 BE =乙=0所以cos九小忌=3ir普，•平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为丄261 *19. (I)引—2，由S =尹・1 n 1( nN)，得昭两式相减得3a n=a n「2, (n _2) .................由3a n = a n 1 2 得到3(a* -1) = a* 1 -1 ,1当n =1 时,a =§a2+2门a2=2^ —4 = —8,满足3佝—1) = a2—1又a1 -1 = -3 ' 0,所以｛a* -1｝为以-3为首项以3为公比的等比数列，a* T =(-3) 3’ = -3. 故a n = -3n 1. ........................................ 6 分=詁n(n -2),(n) b n =log3(-a. 1) = Iog33n=n , 1 6 a. - 1n 312 2则椭圆-的方程为 — y 14 3(II )当.ACD 二/BCD ，则k AC k BC 设直线AC 的斜率为k ，y -一 =k x -1，代入—y 1中整理得2433 4k 2x 2-4k 2k-3 x 4k 2-12k-3 = 0, 同理 1 X 2 =4k 2k 23 (3 + 4k 2)% _x 21因此直线AB 的斜率是定值-2解法二:2 2(ll )依题意知直线 AB 的斜率存在，所以设 AB 方程：y = kx • m 代入—=1中4 3整理得(4k 23)x 2- 8kmx 4m 2T2 = 0，设 A x l ,y 1 ， B x 2, y 2 ， 28km4m -12所以 x 1 x 22， x 1x 2厂当n 为偶数时，T n = -1 • 2 厂i • 3 • 4 •- n -1 • nn 13 - n - 32 n_13 1-3n 3n1-3 n-4n n 二 1—3 当n为奇数时，T n = 2 •3T 川3♦专罟11分3n 1 一n 一3 综上，T n =3^1-4 n 为偶数, n 为奇数. 12分 20： 解法一：(I )因为△ MCD 的面积是厶 NCD 的面积的3倍,所以 MF =3NF ，即 a c=3 a-c ，所以a =2c = 2，所以b 2 =3，8k 2-6 x2 _34k 2，-24kx1 "x ^3 4k 2，10分则k AB屮一y k 片 x2 _2k=0，则直线BC 的斜率为-k ，f 3、、丄C 1,2，设 AX 1, y , B X 2,y 2 , 3 2 2不妨设点C 在x 轴上方,4k 2k -3 ； _ 2 ?3 4k 2则AC 的直线方程为12分4k +3 4k +33：-64k 2m 2—4(4k 23)(4m 2—12)=16(12k 2—3m 29) 0当NACD=NBCD ，则k Ac+k Bc=°，不妨设点C 在x 轴上方，C.1=,33y1% _232 2二 0，整理得 2kx 1X 2 (m )(x 1 X 2) -2m 3 = 0,所以24m -12 , 3 8km 、 所以 2k 2(m )( 2 )—2m 3 = 0,4k +32 4k +3整理得 12k 212(m -2)k9 -6m =0 ,即(6k-3)(2k 2m-3) =0，所以 2k 2m-3 = 0或 6k-3=0 .f 3、1当2k ・2m-3=0时，直线 AB 过定点C 1,，不合题意；当6k-3=0时，k，符合题意，I 2丿 21所以直线 AB 的斜率是定值 一. .................... 12分221.解：(I )因为函数 f(x) =a x + x 2-xlna(a .0,a=1),所以 f (x) =a x ln a + 2x -ln a , f (0) = 0 , ............................................................. 2 分 又因为f(0)=1，所以函数f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y=1. ............ 3分(II )因为存在人兀[-1,1],使得|f(xj -f(X 2)| > e_1成立，而当 X [-1,1]时，| f(X 1) - f(X 2)| < f(X )max - f (x)min ,所以只要f(X )max 二(X)min > e -1即可. ...................................... 4分 由( I ), f"(x)=a X l n a + 2x -l na=2x + (a x -1)ln a .2 x得 f (x) =2 + ln a a因为当a 0,a -1时，总有f“(x)・0,所以f (x)在R 上是增函数， ................................. 5分 又 f (0) =0,所以X , f (x) , f (x)% -1x 2 -110分f x的最大值f x max为f —1和f 1中的最大值. 7分所以f(x)在［-1,0］上是减函数，在［0,1］上是增函数，所以当xq—1,1］时，f(x )的最小值f (x m in= f (0 )=1 ,f x 的最大值f x max 为f —1和f 1中的最大值. 7分因为 f ⑴-f (_1) = (a +1-1 n a) - (— +1 + In a) = a - - - 2l n a , aa 令 g(a)二a — 21 n a(a 0)，因为 g (a) =1 + — (1 ) 0, aa a a 1所以g(a)二a 2ln a 在a 三iQ1、1 ,+ ：：上是增函数.而 g(1)=0，故当 a 1 时，g a 0,即 f(1).f(_1);当 0 :：: a d 时，g a ：：： 0 ,即卩 f(1) ：：： f(—1). ....................................... 9 分所以，当 a 1 时，f(1)_f(0) > e -1，即 a-1 na > e_1 ,函数y=a-lna 在a (1,；)上是增函数，解得 a> e ; ................................ 10分1当 0 ::: a ：：：1 时，f(_1) — f(0) > e -1，即 In a > e —1,a1 1函数y In a 在a • (0,1)上是减函数，解得0 ：：： a < - . .............................................. 11分a e综上可知，所求 a 的取值范围为 a (0,观［e, + -) . .................................................. 12分e2 2 221.( I )由曲线C 的极坐标方程得：：-22sin 為-3 ,直线l 的普通方程为：y-x=6.(II)设曲线C 上任意一点P 为、、3cos 〉，si ，则• d min -2 2 .22. (I)当 m = 1 时，f (x )= x —1 + x+2①当 x 乞 一2时，f x =1 —x —x - 2 =—2x — 1，由—2x —1 空 5，解得 x - 一3，所以 一3 岂 x 乞-2 ；②当-2 x <1时，f x 计1 -x • x • 2 =3乞5恒成立，所以-2 x < 1 ;•••曲线C 的直角坐标方程为 2 :—y^ 1，曲线C 的参数方程为 3 x= 3cos-y = si n ： (为参数)；点P 到直线l 的距离为d = |y/3cosa -sin^ +6、-2③当x _1 时，f x;=x -1 • x • 2 = 2x • 1，由2x 5，解得x 岂2，所以1 岂x 乞2 ; 综上所述，不等式f x <5的解集为［0,2 ］.（II ）若对任意的x「R，都有沁 R，使得f为］=g X2成立，设A = ?y|y=f x j；，B=：y|y=g x 贝U A二B，因为f（x）=|x_m + x+2 斗（x_m）_（x+2 j=|m+2 ,g （x ）= 2x_1| +3 A3 ,所以m+2 >3，解得m z l或m兰一5 ,因此，实数m的取值范围为（_QO,_51；［1,咼）.。