必修1第一章集合与函数概念知识归纳一、集合有关概念1.集合的中元素的三个特性：确定性、元素的互异性、无序性。

2.关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a A3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：集合的表示方法：列举法与描述法。

4.数集：自然数集N ；正整数集N*或 N+；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R.5.集合的表示法：（1）列举法：{a ,b,c……}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；（3）语言描述法；（4）Venn 图。

6.集合的分类：有限集（含有有限个元素的集合）、无限集（含有无限个元素的集合）、空集（不含任何元素的集合）。

二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

2．“相等”关系：“元素相同则两集合相等”注：① 任何一个集合是它本身的子集（A A ）；②真子集:如果AB,且A B 那就说集合A是集合B 的真子集，记作A B(或B A)； ③如果 A B, B C ,那么 A C ；④ 如果A B 同时 B A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集三、集合的运算交集A B （读作‘A 交B’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝；并集A B （读作‘A 并B’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})；全集U 中子集A 的补集记作A C U ，即C U A=},|{A x U x x ∉∈且.二、构成函数的三要素（定义域、对应关系和值域）：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2．值域： 先考虑其定义:(1)观察法 (2)配方法(3)代换法值域补充:（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域都应先考虑其定义域.（2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，是求解复杂函数值域的基础。

3.函数的解析表达式：（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。

4．区间的概念：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．5.常用的函数表示法：解析法（必须注明函数的定义域）、图象法、列表法．注意：解析法：便于算出函数值。

列表法：便于查出函数值。

图象法：便于量出函数值 补充分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二．函数的性质：1.函数的单调性(局部性质)：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间；若当x 1<x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.2121()(()())0(0)x x f x f x --><2121()()0(0)f x f x x x -⇔><-()f x ⇔为增（减）函数. 图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.函数单调区间与单调性的判定方法(1) 定义法：①任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；⑤结论（函数f (x)在给定区间D 上的单调性）．(2)图象法(从图象上看升降)(3)复合函数的单调性：复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”。

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2.函数的奇偶性（整体性质）：对于函数f (x)的定义域内的任意一个x ，若都有f (－x)=f (x)，那么f (x)就叫做偶函数；若都有f (－x)=—f (x)，那么f (x)就叫做奇函数．具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定f (－x)与f (x)的关系；③作出相应结论：若f (－x) = f (x) 或 f (－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f (－x) =－f (x) 或 f (－x)＋f (x) = 0，则f (x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理或借助函数的图象判定 .3.函数最大（小）值：①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；②利用图象求函数的最大（小）值；③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f (x )在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f (x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f (x )在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f (x )在x =b 处有最小值f (b).必修1第一章巩固练习一、选择题：1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（ ）A ．35B ．25C ．28D ．153．已知集合{}2|10,A x x A R φ=++==若，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4<mB ．4>mC ．40<≤mD ．40≤≤m4．若集合{}|32,S y y x x R ==+∈，{}2|1,T y y x x R ==-∈，则S T 是( )A ．S B. T C. φ D.有限集5．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32 C ．1，32或 D6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4--，，则m 的取值范围是（）A ．(]4,0B ．3[]2，4C ．3[3]2，D ．3[2+∞，）8．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)1()23()2(-<-<f f fD ．)23()1()2(-<-<f f f10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥11．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．10-12．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|3003x x x -<<<<或二、填空题：13.已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；14．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。

15．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。