§2.1 质点的运动学方程一、选择题较易（D ）1、质量为kg m 2=的质点沿空间曲线运动，其运动方程为：324t t x -=，t y 5-=， 24-=t z 。

当s t 1=时下面说法错误的是（ C ）A.其加速度为)/(122s m B.作用在质点上的力为)(331.24N C.力的方向角为090 D.在F 作用点在M （3，－5，－1）解析：由题意k z j y i x r ρρρρ++=，则]12)68[(2222k t i t dtr d M a M F ρρρρρ+-===其大小为222z y x F ++=ρ，当s t 1=时。

4=x 、0=y 、12=z ，则=+=++=22222244z y x r较易（D ）2.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r ρρρ22+=（其中a 、b 为常量）,则该质点作：（ B ）（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动 （C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 较易（D ）3、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作（ D ） (A)匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (B)匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向(C)变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 (D)变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 二、填空题中（C ）1、一质点沿直线运动，其运动方程为2242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为 10m 。

解析：t dtdxv 44-==若0=v 解的 s t 1= m x x x 22)242(011=--+=-=∆m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆m x x x 1021=∆+∆=∆中（C ）2、质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )23(42t t ++=，式中r 的单位为m ，t的单位为S.（1）质点的轨道__________（2）t=1秒时刻的速度_________答案：（1）2)3(-=y x ； （2）j i v 28(1)+= 。

中（C ）3、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，则小球的运动方程为 。

答案：j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 解析：由 t v x 0=式（1） 2gt 21h y -= 式（2） j i r )gt 21-h (t v (t)20+= 中（C ）4、质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s2，在t=0时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为33210t x += 。

三、判断题易（E ）1、对于同一个物体，由于研究的问题不同，有时可以把他看作质点，有时则不能。

（√）易（E ）2、机械运动时一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内部的一部分相对于其他部分随时间变化而变化。

（√）易（E ）3、在不能把物体看做质点的时候，也不可以把这个物体看作是由许多质点组成的。

（×）易（E ）4、质点位移()t r t t r r -∆+=∆）（与发生这一位移的时间间隔t ∆之比，是这时间的平均速度。

（√） 易（E ）5、运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的变动。

（√） 易（E ）6、力学所说的运动，是指物体位置的变更。

（×）四、计算题中（C ）1、质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数。

求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）。

解:)2cos(sin π+=-=t a t a v x )cos(cos π+=-=t a t a a x质点受力mx t ma ma F -=-==cos ，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动范围在a x a ≤≤-，速度具有周期性。

较易（D ）2、一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为.cos 2t A a x ωω-=在t=0时，,,0A x v x==其中ω、A 均为正常数，求此质点的运动学方程。

解：dt a v v txx x ⎰+=00t A t d t A dt t A vttωωωωωωωsin )(.cos .cos 02x-=-=-=⎰⎰⎰+=tx dt v x x 00，t A t A A dt t A A x t tωωωωcos |cos sin 00=+=⋅-+=⎰较易（D ）3、质点运动学方程为j t i t r ˆ)32(ˆ42++=ρ，（1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=0至t=1质点的位移。

解: ① ,32,42+==t y t x 消去t 得轨迹方程2)3(-=y x②j i r r r j i r j r ˆ2ˆ4,ˆ5ˆ4,ˆ30110+=-=∆+==ρρρρρ较易（D ）4、飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。

刚着陆时，t=0时速度为0v 且坐标为x=0.假设其加速度为2x x bv a -=，b=常量，求此质点的运动学方程。

解：⎰⎰-=-=-=t v v xxx x x x dt b v dv bdt v dv bv dt dv x 02220,,， ,)1(00+=t bv v v xdt v x x tx ⎰+=00，)1ln(1|)1ln(1)1()1(1)1(000000000+=+=++=+=⎰⎰t bv bt bv b t bv t bv d b dt t bv v x tt t中（C ）5、质点在o-xy 平面内运动，其加速度为,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ位置和速度的初始条件为t=0时i r j v ˆ,ˆ==ρρ，求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分）。

解: 由,ˆsin ˆcos j t i t a --=ρ得,cos t a x -= t a y sin -=初始条件：t=0时,v 0x =0,v 0y =1,x 0=1,y 0=0⎰+=tx x x dta v v 00, t tdt v tx sin cos 0-=-=⎰⎰+=ty y y dt a v v 00, t tdt v t y cos sin 10=-+=⎰dt v x x tx ⎰+=00, t tdt x tcos sin 10=-+=⎰⎰+=ty dt v y y 00, t tdt y tsin cos 0==⎰⎩⎨⎧==t y t x sin cos ,j sin cos ϖρρt i t a += 22=+y x 轨迹图如图1所示：中（C ）6、质点的运动学方程为j t i t r j i t r ˆ)14(ˆ)32().2(,ˆ5ˆ)23().1(-+-=++=ρρ求质点轨迹并用图表示。

解：① ,5,23=+=y t x 轨迹方程为y=5 ②⎩⎨⎧-=-=1432t y tx 消去时间参量t 得0543=-+x y轨迹图如图2所示：较易（D ）7、质点运动学方程为kj e i e r t t ˆ2ˆˆ22++=-ρ， （1） 求质点的轨迹；（2） 求自t=-1至t=1质点的位移。

解: ①⎪⎩⎪⎨⎧===-222z e y e x t t消去t 得轨迹：xy=1,z=2②k j e i e r ˆ2ˆˆ221++=--ρ, kj e i e r ˆ2ˆˆ221++=-+ρ, j e e i e e r r r ˆ)(ˆ)(222211---+-+-=-=∆ρρρ较易（D ）8、质点沿直线运动，加速度24t a -=，式中a 的单位为2-⋅s m ，t 的单位为s 。

如果当t=3s 时，m x 9=，12-⋅=sm v ，求运动方程。

图2分析：本题属于运动学的第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用积分方法解决。

由22dt x d a =和dtdxv =可得adt dv =和vdt dx =。

如)(t a a =或)(t v v =，则可以两边直接积分。

如果a 或v 不是时间t 的显函数，则应经过诸如分离变量法或变量代换等数学操作后在做积分。

解：由分析知，应有 ⎰⎰=tvvadt dv 0得 03314v t t v +-= （1）由 ⎰⎰=xx tvdt vdt 0得 00421212x t v t t x ++-= （2）将t=3s 时，x=9m, 12-⋅=s m v 代入（1）（2）得101-⋅-=s m v ，m x 75.00=于是可得质点运动方程为 75.0121242+--=t t t x 中（C ）9、一指点具恒定加速度a =6i ρ+4j ρ,式中a 单位是2-•s m ，在t=0时，其速度为零，位置矢量i m r ϖ100=。

求：（1）在任意时刻的速度和位移矢量；（2）质点在Oxy 平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图。

分析：根据叠加原理，求解时需根据加速度和两个分量x a 和y a 分别积分，从而得到运动方程r 的两个分了两式)(t x 和y(t).由于本题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即20021t a t v x x x x ++=和20021t a t v y y y y ++=，两个分运动均为匀变速直线运动。

解：由加速度定义式，根据初始条件00=t 时00=v ，积分可得⎰⎰⎰+==tt vdt j i adt dv 0)46(ϖρ v=6t i ρ+4t j ϖv=dtdr及初始条件t=0时，)10(0m r =i ρ,积分可得 ⎰⎰⎰+==t ot r r dt i t i t vdt dr )46(0ρρ r=)310(2t +i ρ+22t j ϖ由上述结果可得组织点运动方程的分量式，即2310t x += 22t y =消去参数t ，可得运动的轨迹方程m x y 2023-=这是一个直线方程。

直线的斜率,32tan ==αdx dy k 14330'=α.轨迹如下图所示：。