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二·计算题（每题 18 分，合计 54 分）
9．设 3 阶实对称矩阵A 有 3 个特征值3, 3,−3，已知属于特征值− 3的特征向量为 T )1,2,1(1−=α，求矩阵A 及．
1−A 10．设321,,ααα是3维线性空间V 的一个基，σ是V 上的线性变换，已知 321122)(αααασ++−=，321222)(αααασ−−=，321322)(αααασ−−=，
（1） 求线性变换σ在基321,,ααα下的矩阵；
（2） 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为，向量⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200010021P γ在基
321,,ααα下的坐标是，求()T X 2,1,0−=)(γσ在基321,,βββ下的坐标．
11．设元()齐次线性方程组
n 4≥n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++−=+=+=+++++000041
31
214321n n ax ax bx ax bx ax bx bx bx bx bx ax L L 其中．试讨论取何值时，方程组只有零解；取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，写出方程组的基础解系．
0≠b n b a ,,三·证明题（第 12 题 8 分，第 13 题 6 分，共 14 分）
12．设A 是矩阵，n m ×β是m 维非零列向量，已知β是非齐次线性方程组的b Ax =一个解，r ααα,,,21L 是导出组0=Ax 的基础解系，试证明
（1）r αβαβαββ+++,,,,21L 线性无关；
（2）的解集合的极大线性无关组含有b Ax =1+r 个向量．
13．设A 为任意阶实反对称矩阵（即n A A T −=），试证明2A I −是正定矩阵．
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