线性代数部分第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 22. =0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 25. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)06．设行列式na a a a =22211211，m a a a a =21231113，则行列式232221131211--a a a a a a 等于（）A. m n -B.)(-n m +C. n m +D.n m -二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式010...0002...0.........000 (10)0 0n n =-.3．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .4．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.6．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.7．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题2．y x yx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ；6. 111...1311...1112...1.........111...(1)b b n b----7. 11111222123111...1..................n b a a a b b a a b b b a ； 8．121212123.....................n nn x a a a a x a a a a x a a a a x; 四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++. 3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)22A A =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。

(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。

(a) A k (b) A k (c) A k n (d) A k n4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。

(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。

(a)(a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA6. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。

(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。

（a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=8.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113022131A ，则（ ）。

（a ）A A T = (b) *1A A =-（c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A （d ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A9.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC =，则（ ）。

（a ）I ACB = （b ）I CAB = （c ）I CBA = （d ）I BAC = 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。

(a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX 11. 设矩阵A=（1，2），B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=654321则下列矩阵运算中有意义的是（ ）A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA 12.设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆，且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B AB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 不可逆C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆，且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A BD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆，且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B A13.已知向量TT )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则β+α=（A ）A ．T)1,1,2,0(-- B.T)1,1,0,2(--C ．T)0,2,1,1(-- D ．T)1,5,6,2(---14.设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（C ）A. 若AB AC =，则B C =B. 若0AB =，则0A =或0B =C. 若0AB =，则0A =或0B =D. 若0A E -=，则A E =6、设两事件A二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______2.行列式=---000c b c a ba_______ 3.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A _______ 4.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).1) 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ； 2) 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3) 2AX A X =+,其中423110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭；2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .3.设11201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求1234A A AA ⎛⎫⎪⎝⎭.4.设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =. 四、证明题1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.2. 设0k A =(k 为整数), 求证I A -可逆.4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββααα2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。

3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。

个行向量线性无关必有r a )(4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是( ))(a 12,,...,s ααα都不是零向量)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。

2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。

3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。

4. 若321,,ααα线性相关，则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关。

5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。

三、计算题1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，T),,0(2λλβ=，问（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。