点拨复习（一）数学思想方法问题
【专题点拨】
数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。

因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。

初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等。

结合中考走向，我们重点就以下几种思想方法进行赏析强化。

【典例赏析】
【例题1】已知二次函数y = (x+m)2 - n的图象如图所示，则一次函数y = mx + n与反比例函数mn
y
x
=的图象可能是（）
（第7题图） A. B. C. D.
【解答】解：
由对称轴x=﹣m<0，可知m>0，
由顶点在第二象限-n>0，n<0当x=1时，
所以mn<0，反比例函数
mn
y
x
=图象经过二四象限，
由于m>0，n<0，一次函数y = mx + n经过一三四象限，
故选C．
【例题2】小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上.
（1）求树DE 的高度；
（2）求食堂MN 的高度.
【解答】
解：(1)在直角三角形ABC 中，AB=2米，∠BCA =30°
∴AC=
30sin AC =6米 ∵∠BCA =30°，∠ECD =60°
∴∠ACE =90°
∵∠BCA =30°,AE ∥BD
∠CAF =30°
∵∠EAF =30°
∴∠EAC =60°
∴CE=ACtan60°=36米
在直角三角形CED 中，CE=36米，∠ECD=60°
∴ED=CEsin60°=9米
(2)在直角三角形ABC 中，AB=2米，∠BCA =30°
∴BC=ABcot30°=32米
在直角三角形CED 中，CE=36米，∠ECD=60°
∴CD=CEcos60°=33米
延长MN 交BD 于点G
∴MG=GD=GB+BC+CD=(3+35)米
∴MN=MG-MG=(1+3
5)米
【例题3】某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．
（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
【解答】解：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，
根据题意，得：100﹣a≥a，
解得：a≤50，
设购买总费用为W，
则W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，
∵W随a的增大而减小，
∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，
答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
【能力检测】
1、小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程
中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高
．．水位h与注水时间之间的变化情况的是（）
A．B．C．D．
故选：B．
2、在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c（除颜色外其他均相同）．用树状图（或列表法）解答下列问题：
（1）小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球．则小丽两次都摸到白球的概率是多少？
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？
【考点】X6：列表法与树状图法．.
【分析】（1）列举出所有情况，看小丽两次都摸到白球的情况数占总情况数的多少即可；
（2）列举出所有情况，看小强第二次摸到白球的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）如图，共6种情况，两次都摸出白球的情况数有2种，所以概率为；
（2）共8种情况，第一次摸到白球的可能性为，如果第一次摸到白球，那么第二次又摸到白球的概率是，那么两次摸到白球的概率是×=．
3、在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为（4，6）或（﹣4，﹣6）．
【解答】解：如图，
由题意，位似中心是O，位似比为2，
∴OC=AC，
∵C（2，3），
∴A（4，6）或（﹣4，﹣6），
故答案为（4，6）或（﹣4，﹣6）．
4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25 尺．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为=25（尺）．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
5.如图，一次函数y=k
1x+5（k
1
＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例
函数y=（k
2
＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．
（1）求k
2﹣k
1
的值；
（2）若=，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．.
【分析】（1）根据点M的坐标代入反比例关系：y=中，可得结论；
（2）根据△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐标，代
入反比例函数式中可得k
2
的值；
（3）如图2，点P在x轴的正半轴上时，绕P顺时针旋转到点Q，根据△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，设P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函数的关系式中可得Q的两个坐标；
如图3，点P在x轴的负半轴上时；
如图4，点P在x轴的正半轴上时，绕P逆时针旋转到点Q，同理可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，
∴M的横坐标为1，
当x=1时，y=k
1
+5，
∴M（1，k
1
+5），
∵M在反比例函数的图象上，
∴1×（k
1+5）=k
2
，
∴k
2﹣k
1
=5；
（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，∴CM∥DN，
∴△ACM∽△ADN，
∴，
∵CM=1，
∴DN=4，
当x=4时，y=4k
1
+5，
∴N（4，4k
1
+5），
∴4（4k
1+5）=k
2
①，
由（1）得：k
2﹣k
1
=5，
∴k
1=k
2
﹣5②，
把②代入①得：4（4k
2﹣20+5）=k
2
，
k
2
=4；
∴反比例函数的解析式：y=；
（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，
过Q作QH⊥x轴于H，
易得：△COP≌△PHQ，
∴CO=PH，OP=QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y=；
当x=1时，y=4，
∴M（1，4），
∴OC=PH=4，
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）=4，
x2+4x+4=8，
x=﹣2±，
当x=﹣2+2时，x+4=2+2，如图2，Q（2+2，﹣2+2）；
当x=﹣2﹣2时，x+4=2﹣2，如图3，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，
易得：△CPG≌△PQH，
∴PG=QH=4，CG=PH=x，
∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）=4，
解得：x
1=x
2
=2，
∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．。