4
3.微分性质
如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去
间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
F [f '(t)]=jwF [f(t)].
(1.17)
• 推论
• F [f(n)(t)]=(jw)nF [f(t)].
(1.18)
5
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
F [f(t)]=F(w), 则
d
dw
F (w ) F
[- jtf (t)].
一般地, 有
dn
dw n
F (w )
(-
j) n F
[t n f (t)]
jn
dn
dwn
F (w) F
[t n f (t)]
6
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t )d t 0 -
则
F
t -
f
(t
)d
t
1
jw F
[ f (t)].
2j
2j
则g(t) e j2t
G(w
-
2)
1
1
j(w
-
2)
g (t) e- j2t
G(w
2)
1
1
j(w
2)
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
15
F (w)
1 2j
1
1
j(w
-
2)
-
1
1
j(w
2)
-
j 2
1 j(w (1 jw
-
2) -12 j)(1
j(w - 2) jw j2)
e-j2t 2 (w 2)
F (w) (w - 2) - (w 2)
2j
18
卷积定理
19
卷积的概念
若已知函数f1(t), f2(t), 则积分
- f1( ) f2 (t - ) d
• 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)
f1(t) f2 (t) - f1( ) f2 (t - ) d
f (t)g(t) d t
1
F (w)G(w) dw (1.20)
-
2 -
证
f (t)g(t) d t
-
-
f
(t)
1
2
-
G(w
)
e
jwt
d
w
d
t
-
f
(t)
1
2
-
G(w
)
e-
jwt
d
w
d
t
1
2
-
-
f
(t
)
e-
jwt
d
t
G(w
)
d
w
1
F (w)G(w) dw
13
练习1
f (t) u(t) e-t sin 2t，求ｆ的傅里叶变换。
解：令g(t) u(t) e-t G(w) 1 1 jw
则f (t) g(t) sin 2t g(t) e j2t - e-j2t 2j
1 g(t) e j2t - 1 g(t) e- j2t
2j
2j
14
f (t) 1 g(t) e j2t - 1 g(t) e- j2t
w
a
(a 0)
翻转性质 :
F [ f (-t)] F (-w) 8
性质小结:
若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w)
线性 :af (t) bg(t)
位移 : f (t - t0 )
f (t )e jw0t
导数 : f (t)
积分 : t f (t) d t -
对称 : F (t)
2 -
10
能量积分 若F(w)=F [f(t)], 则有
-
f (t)
2 dt
1
2
F(w) 2 dw
-
(1.21)
• 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式
11
实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所 有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从 傅里叶变换的性质就可导出.
(t) 1
这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合. 它的证明只需根据定义就可推出.
同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即
F -1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+b f2(t) (1.14) 3
2. 位移性质
F [ f (t t0 )] e jwt0F [ f (t)] (1.15)
(1.19)
证 因为 d
t
f (t)d t f (t),
d t -
jwF
t -
f
(t
)d
t
F
[ f (t)]
7
若F [ f (t)] F (w),则还成立
对称性质 :
F [F (t)] 2 f (-w),F [F (-t)] 2 f (w)
相似性质 :
F
[
f
(at
)]
|
1 a
|
F
相似 : f (at) (a 0)
翻转 : f (-t)
aF (w ) bG(w )
F (w ) e- jwt0
F (w - w0 ) jwF (w )
1
jw
F (w )
2f (-w )
|
1 a
|
F
w
a
F (-w )
9
乘积定理 若F(w)=F [f(t)], G(w)=F [g(t)], 则
(1
2
jw )2
4
5
-w
2 2
2
jw
2(5 -w 2 - j2w ) (5 - w 2 )2 4w 2
2
5-w2 25 - 6w 2
j 2w w4
16
练习2：
求F(w)=[(w+w0)+(w-w0)]的傅里叶逆变
换。
解： (t)
1
1
2(w)
e- jw0t
2(w w0 )
e jw0t
2(w - w0 )
f (t) 1
e e - jw0t
jw0t
2
cos w t0 17
练习3: 求f(t)=cos t sin t的傅里叶变换。
cos t sin t 1 e jt e-jt e jt - e-jt 4j
1 e j2t - e-j2t 4j
1 2 (w), e j2t 2 (w - 2)
20
在积分
- f1( ) f2 (t - ) d
中, 令ut-, 则t-u, du-d, 则
f1(t) f2 (t) f2 (t) f1(t)
即卷积满足交换律.氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏 积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
2
1.线性性质
设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则
F [af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1.13)
u(t)
1
jw
(w )
u(t)e-bt
1
b jw
e-bt 2
b
w2
e-4b
12
• 由位移性质可知：
f (t - t0） F (w)e- jwt0 f (t)e jw0t F (w - w0 )
由
1 2（w）可得
e jw0t 2 (w - w0 ) 由 (t) 1
可得
（t - t0 ) e- jwt0