课堂互动讲练
(1)写出d关于v的函数关系式；
(2)若不计火车的长度，则26列火
车都到达B地最少需要多少小时？此
时火车的速度为多少？
解：(1)由题意可设d＝kv2，
其中k为比例系数，且v>0，
∵当v＝20时，d＝1，
∴1＝k·202，即 k＝4100，
∴d＝4100v2(v>0).
4分
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基础知识梳理
4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅 当x＝y时，x＋y有 最小 值是 2 p.(简 记：积定和最小)
基础知识梳理
(2)如果和x＋y是定值p，那么当 p2
且仅当 x＝y时，xy有最大值是 4 .(简 记：和定积最大)
三基能力强化
(4)ba＋ab≥2 (a，b 同号且不为零)．
基础知识梳理
上述四个不等式等号成立的条件 是什么？
【思考·提示】 满足a＝b.
思 考 ？
基础知识梳理
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数
a＋b
为 2 ，几何平均数为 ab ，基本
不等式可叙述为：两个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数．
(2)证明：a4＋b4＋c4＋ d4≥4abcd.
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)利用a＋b＝1 将要证不等式中的1代换，即可得证．
(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可 求证．但需两次利用不等式，注意等 号成立的条件．
课堂互动讲练
【证明】 (1)∵a>0，b>0，a
＋b＝1，
∴
1＋ a
1 b
∴y＝1－2x－3x≤1－2 6. ∴当 x＝ 26时，ymax＝1－2 6.
课堂互动讲练
(3)∵x>0，y>0，x＋y＝1，
∴4 x
＋9 y
＝
(x＋
y)(4x＋ 9y )＝
13＋
4xy＋9yx
≥13＋2 4xy·9yx＝25，
当且仅当4y＝9x时等号成立， xy
课堂互动讲练
x＋y＝1， 由4xy＝9yx，
1 ． “a>0
且
b>0”
是
“
a＋b 2
≥ ab”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A
三基能力强化
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2， 则( )
A．ab≤12 C．a2＋b2≥2
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
答案：C
三基能力强化
3．函数 f(x)＝x＋x－1 2－4(x>2)， 则 f(x)有( )
(2)∵每两列火车间距离为d千米， ∴最后一列火车与第一列火车间的距
离是25d，所以最后一列火车到达B地的时
间为 t＝4v00＋2v5d，
由(1)可知 d＝4100v2，
代入上式整理得
t＝
4v00＋
v 16
≥2 4v00·1v6＝2×5＝10，
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当且仅当4v00＝1v6，即 v＝80(千米 /时)时，等号成立，
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－2 D．最小值－2 答案：B
三基能力强化
4.(2009 年 高 考 湖 南 卷 改 编 ) 若 x<0，则 x＋2x的最大值为________．
答案：－2 2
三基能力强化
5．(教材例题改编)长为24 cm的 铁丝做成长方形模型，则模型的最大 面积为________．
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∴y
＝
x(1
－
3x)
＝
3·x(
1 3
－
x)≤3·(x＋132－x)2＝112，
当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等 号成立．
∴当 x＝16时，函数取得最大值112.
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【误区警示】 本题的易误点是 忽视不等式成立的条件，或者忽视验 证等号成立的条件．
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考点三 利用变形的基本不等式求最值
11 分
即当 x＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最
小总费用是 10440 元. 12 分
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【失误点评】 (1)列出函数关系 易漏定义域，(2)对最后的结果不作结 论．
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高考检阅
(本题满分12分)已知26列火车以 相同速度v由A地驶向400千米处的B 地，每两列火车间距离为d千米，现 知d与速度v的平方成正比，且当v＝20 千米/时时，d＝1千米．
答案：36 cm2
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考点一 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等式，先 观察题目条件是否满足基本不等式的 应用环境，若不满足，则应通过添 项、拆项、配系数、“1”的代换等方 法，使其满足应用条件，再结合不等 式的基本性质，达到证明的目的．
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例1 (1)已知 a>0，b>0，a＋b＝1， 求证：1a＋1b≥4.
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(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地 围墙的总费用最小，并求出最小总费 用．
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【思路点拨】 用x表示另一边长a
→ 列出函数关系 → 利用均值不等式求最值
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【解】 (1)如图，设矩形的另一 边长为a m，
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则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x
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法二：∵a>0，b>0,4a＋b＝1， ∴ab＝14·4a·b≤14(4a2＋b)2＝116， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝ 1时，等号成立． 2 所以 ab 的最大值为116.
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(2)∵x>0，∴2x＋3x≥2 2x·3x ＝2 6.
当且仅当 2x＝3x，即 x＝ 26时 取等号．
19、上天不会亏待努力的人，也不会 同情假 勤奋的 人，你 有多努 力时光 它知道 。 20、成长这一路就是懂得闭嘴努力， 知道低 调谦逊 ，学会 强大自 己，在 每一个 值得珍 惜的日 子里， 拼命去 成为自 己想成 为的人 。6.凡 是内心 能够想 到.相信 的，都 是可以 达到的 。――[NapoleonHill]
求4＋9的最小值． xy
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【思路点拨】 利用基本不等 式的变形如：ab≤(a＋2 b)2 或 a＋ b≥2 ab来求最值．
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【解】 (1)法一：∵a>0，b>0,4a ＋b＝1，
∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b ＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116. 所以 ab 的最大值为116.
＋360a－360.
由已知 xa＝360，得 a＝3x60， 所以 y＝225x＋36x02－360(x>0).
4分 6分
课堂互动讲练
(2)∵x>0，
∴225x
＋
3602 x
≥2
225×3602＝ 10800.
8
分
∴y＝225x＋36x02－360≥10440. 当且仅当 225x＝36x02时，等号成立.
规律方法总结
(2)基本不等式具有将“和式”转化 为“积式”和将“积式”转化为“和式”的 放缩功能，在证明或求最值时，要注 意这种转化思想．
规律方法总结
2．创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技 巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每 项为正值，必要时出现积为定值或和为定 值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注 意每次是否能保证等号成立，并且要注意取 等号的条件的一致性，否则就会出错，因此 在利用基本不等式处理问题时，列出等号成 立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是 检验转换是否有误的一种方法．
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例2 (1)求函数 y＝x＋1x的值域． (2)已知 0<x<13，求函数 y＝x(1
－3x)的最大值．
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【思路点拨】 (1)题中未指明 x>0，因而不能直接使用基本不等 式，需分x>0与x<0讨论；
(2)求函数的最大值，需构造某个 和为定值，可考虑将括号内外x的系数 变成互为相反数．
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(2)法一：∵0<x<13， ∴1－3x>0.
∴y
＝
x(1
－
3x)
＝
1 3
·3x(1
－
3x)≤13[3x＋(21－3x)]2
＝1， 12
课堂互动讲练
当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16 时，等号成立．
∴当 x＝16时，函数取得最大值 1 12.
法二：∵0<x<13，∴13－x>0.
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人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自 己不奋 斗，终 归是摆 设。无 论你是 谁，宁 可做拼 搏的失 败者， 也不要 做安于 现状的 平凡人 。 18、过自己喜欢的生活，成为自己喜 欢的样 子，其 实很简 单，就 是把无 数个"今 天"过 好，这 就意味 着不辜 负不蹉 跎时光 ，以饱 满的热 情迎接 每一件 事，让 生命的 每一天 都有滋 有味。
第4课时基本不等式
基础知识梳理
1．基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件
ab ≤ a＋b 2
a>0，b>0
a＝b
基础知识梳理
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；
(2)ab ≤ (a＋2 b)2(a，b∈R)；