二面角
1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长
为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点 ∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形
∴ AD =CD =BD =2
∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC
∴ PA ⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，
易求 ∠PAC =30°
3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面 ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO
∵ PO ⊥面ABCD
∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2，
过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角
过 C 作 CE ⊥BD 于S
则 RN =2
1CE 在 Rt △BCD 中，CD ·BC =BD ·CE ∴ 58BD BC CD CE =⋅= ∴ 54RN = 25RN MN MRN tan ==
∠ ∴ 25arctan MRN =∠
11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a.
(1)求证：AF ⊥A1C
(2)求二面角C —AF —B 的大小
D P
C A
B S R N
M O B
D
P A C
分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.
解 (1)∵AC ＝BC ，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB
又∵ABC —A1B1C1为直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB
连结EF ，由于AB ＝2AA1
∴AA1FE 为正方形
∴AF ⊥A1E ，从而AF ⊥A1C
(2)设AF 与A1E 交于O ，连结CO ，由于AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1
∴∠COE 即为二面角C —AF —B 的平面角
∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a ∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝a a
222＝2.
∴二面角C —AF —B 的大小是arctan2.
13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且
141BB BK =，143CC CM =.．求：
平面AKM 与ABCD 所成角的大小．
解析：由于BCMK 是梯形，则MK 与CB 相交于E ．A 、E 确定的直线为l ，过C 作CF ⊥l 于F ，连结MF ，因为MC ⊥平面ABCD ，CF ⊥l ，故MF ⊥l ．∠MFC 是二面角M-l-C 的平面角．设正方体棱长为a ，则
a CM 43=，a BK 41=．在△ECM 中，由BK ∥CM 可得a EB 21=，a CF 53=，故45tan =∠MFC ．因此所求角的大小为45arctan 或45arctan π-．。