概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征§4.1 数学期望一、选择题：1．设X 的概率密度为201()0x x f x <<⎧=⎨⎩其他，则()E X = [ B ](A)12 (B) 23(C) 1 (D) 2 2．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ](A) ()E ξ (B) ()3E ξ (C) ()2E ξ- (D)()233E ξ- 3．设随机变量X 和Y 独立且服从(0,)θ上的均匀分布，则{min(,)}E X Y =(考研题2011)[ C ] (A)2θ (B) θ (C)3θ (D) 4θ二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,0.1，则()E X = 。

2．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X +=。

3．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 。

*4．设随机变量(,1,2,,)ij X i j n =独立且同分布,()2ij E X =，则行列式111212122212n n n n nnX X X X X X Y X X X =的数学期望()E Y = (考研题 1999)。

0.511615902或三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求：（1）X 的分布律；（2）求X 的数学期望().E X2．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望： （1）21XY e-=； （2）2max{,2}Y X =； （3）3min{,2}Y X =。

3450.10.30.6()30.140.350.6 4.5X P E X =⨯+⨯+⨯=解：231002+222022022+22230020211(1)()|.33(2)()2+2()|(||)2+.(3)()+2||2()|1.x x x x x x x x x x x x x E Y e e dx e E Y e dx xe dx e xe e e E Y xe dx e dx xe e e e +∞---+∞∞----+∞-+∞-∞-----+∞-==-===⨯-+--===--+⨯-=-⎰⎰⎰⎰⎰解：概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征§4.2 方差一、选择题：1．设随机变量X 服从区间(0,1)上的均匀分布，则方差()D X = [ C ] (A)12 (B) 14 (C) 112(D) 1 2．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ] (A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 363．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] (A) ()23()23E D ηληλ=-=- (B) ()2()2E D ηληλ==(C) ()23()43E D ηληλ=-=- (D) ()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1． 设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6，0.3，0.1，则()D X = 。

2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 。

3．设正态分布Y2(3)y --，则()D Y = 。

*4．设随机变量X 服从参数为1λ=的泊松分布，则2{()}P X E X == (考研题 2008)。

三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3，0.5，0.2，求21Y X =-的期望与方差。

0.452121122e e -=222()10.320.530.2 1.9.()(1 1.9)0.3(2 1.9)0.5(3 1.9)0.20.49.()(21)2()1 2.8.()(21)4() 1.96.E X D X E Y E X E X D Y D X D X =⨯+⨯+⨯==-⨯+-⨯+-⨯==-=-==-==2．设随机变量~(0,1)X N ，试求E X ；D X ；3()E X 。

（1）常数a ，b 的值；（2）方差()D X ； *（3）随机变量XY e =的期望与方差。

222222200222222332(||)||2(||)(||)(||)()(||)(()())(||)1.()0x x x x E X x e dx xe dx de D X E X E X E X E X D X E X E X E X x e dx π+∞+∞+∞----∞+∞--∞=====-=-=+-=-==⎰242202240222(1)856()26233335311(13),,1422444()d 12621112(2)()(2)(2)(1).44311(3)()(1)44()()x x E X a b c P X a b c a b c f x x a b c D X x xdx x x dx E Y e xdx e x dx D Y E Y E +∞-∞⎫=⇒++=⎪⎪⎪<<=⇒++=⇒==-=⎬⎪⎪=⇒++=⎪⎭=-⋅+--==⋅+-=-⎰⎰⎰⎰⎰解：242222202111()(1)(1).444x x Y e xdx e x dx e e =⋅+-=-⎰⎰概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征 §4.3 协方差、相关系数一、选择题：1．对任意两个随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则 [ D ] (A) ()()()D XY D X D Y = (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X Y 与相互独立 (D) X Y 与不相互独立2．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于 (考研题 2001) [ A ] (A) -1 (B) 0 (C) 12(D) 1 二、填空题：1．设随机变量(,)X Y 服从正态分布(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 。

2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 。

3．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，则()D X Y -= 。

三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。

132737()10.375010.3750.()0.()(1)(1)0.125(1)0.125(1)0.1250.1250.()()().,(1,1)0.125,(1)(1)0.375.(1,1)(1)(1),,E X E Y E XY E XY E X E Y X Y P X Y P X P Y P X Y P X P Y X Y =-⨯++⨯===-⨯-⨯+-⨯+-⨯+=∴=∴=======∴==≠==∴解：不相关。

另外，不独立。

2．设~(0,4)~(0,4)X N Y U ，，且X ，Y 相互独立，求：()()(23)E XY D X Y D X Y +-；；。

3．设A 和B 为随机变量，且1()4P A =，1()3P B A =，1()2P A B =。

令1,1,0,0,A B X Y A B ⎧⎧==⎨⎨⎩⎩发生发生，不发生不发生。

（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求X 和Y 的相关系数ρXY (考研题 2004)。

三、证明题：设随机变量X 服从区间(2,2)-上的均匀分布，设随机变量6Y X =，证明：X Y ，不相关。

4()0,()4,()2,(),,3()()()0416()()()4.33(23)4()9()161228.E X D X E Y D Y X Y E XY E X E Y D X Y D X D Y D X Y D X D Y ====∴==+=+=+=-=+=+=解：且相互独立，1()11(1)()()(|);(),()()();12(|)6612()()();()=1().123\01()213031241111612451()166i j P AB P AB P A P B A P B P AB P A P AB P A B P AB P B P AB P AB P A B X Y P X x P Y y =====-==-=-===221111(2)(),(),(),()4646351(),(),().163612XY E X E Y E X E Y D X D Y E XY ρ=======∴===()()(),,E XY E X E Y X Y ∴=解：相互独立。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征综合练习一、填空题：1．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D XE X = 。

2．设随机变量X ，Y 的相关系数0.9，若4Z X =-，则Y 和Z 的相关系数= 。

*3．设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)X N ，则2()XE Xe = （考研题2013）。

二、计算题：1. 设随机变量X 等概率取5个值：2-，0，1，3和4，求X 的数学期望与方差。

2. 设1X ，2X ，3X 为互相独立的随机变量，且()0i E X =，2()1i E X =，1,2,3i =，求22123[(4)]E X X X -。

3. 在长为l 的线段上独立地任选两点，求两点间距离的数学期望和方差。

三、证明题：设随机变量X 的密度为21()(1)f x x π=+，(,)x ∈-∞+∞（柯西分布），证明：()E X 不存在。

220201()d d (1)2d (1)1ln(1)||()d x f x x x x x x xx x x f x x X πππ+∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞-∞=⋅+=+=+=+∞⎰⎰⎰⎰解：因为即不收敛，所以的数学期望不存在。