直线与圆位置关系一．课标要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架相离 几何法 弦长 直线与圆的位置关系相交 代数法 切割线定理相切直线与圆 代数法 求切线的方法几何法 圆的切线方程过圆上一点的切线方程 圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程三．直线与圆的位置关系及其判定方法1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判定。

（1）⇔<r d 直线与圆相交 （2）⇔=r d 直线与圆相切 （3）⇔>r d 直线与圆相离2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即⇔>∆0直线与圆相交 （2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0=∆⇔直线与圆相切 （3）无解（交点），即⇔<∆0直线与圆相离 3.等价关系相交0>∆⇔<⇔r d 相切0=∆⇔=⇔r d 相离0<∆⇔>⇔r d 练习（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:22=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？（位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:22=+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定（最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x ，（1）求xy的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。

①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则n m +的取值围是（）（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值围是6．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π（位置关系）7．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值围是__________. （对称问题）11.圆4)1()3(:221=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( )A. 4)1()3(22=-++y xB. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x12. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN则k 的取值围是( )A ．3[,0]4-B ．[C ．[D ．2[,0]3-13.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点； (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值．[解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M (3,1)在圆C ，∴直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2＝225－5＝4 5.四．计算直线被圆所截得的弦长的方法1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的∆Rt 计算，即222d r AB -= 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即[]B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+=（注：①当直线AB 斜率不存在时，请自行探索与总结；②弦中点坐标为）（2,2BA B A y y x x ++，求解弦中点轨迹方程。

） 练习1.直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于（）2.过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程是( )A.053=--y xB. 073=-+y xC. 053=-+y xD. 053=+-y x3.已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为（）4.直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.3555.已知圆4)4()3(:22=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l（1)求证:不论k 取什么值,直线和圆总相交;(2)求k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.6.若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为( )A ．1 B ．－1 C.12 D ．27.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，（1）若弦AB 的长为l 的方程； （2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程．解：（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有24120y y +-=，弦()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意．故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=．将圆的方程写成标准式得()22225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =．圆心()0,2-到直线l 的距离d =角形，所以()22231251k k -+=+，即()230k +=，所以3k =-．所求直线l 的方程为3120x y ++=．（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，11O P ABk k ⋅=-，又(3)(3)AB MP y k k x --==--，则有()()()23103y y x x ----⋅=----，化简得22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．8.已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点,O 为原点,且OQ OP ⊥,数m 的取值.五．已知切点，求切线方程1.经过圆222r y x =+上一点）（00,y x P 的切线方程为200r y y x x =+2.经过圆222)()(r b y a x =-+-上一点）（00,y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--3.经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为0220000=++++++F yy E x x Dy y x x 练习1.经过圆上一点)8,4(--P 作圆9)8()7(22++++y x 的切线方程为（）2.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x六．切点未知，过园外一点，求切线方程1.k 不存在，验证是否成立；2.k 存在，设点斜式，用圆到直线的距离r d =，即)(00x x k y y -=-1)(200+---=k x a k y b r练习1.求过)5,3(A 且与圆0744:22=+--+y x y x C 相切的直线方程。

七．切线长若圆222)()(:r b y a x C =-+-，则过圆外一点),(00y x P 的切线长22020)()(r b y a x d --+-=练习1.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ B ） (A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 52.自直线y=x 上点向圆x 2+y 2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为八．切点弦方程过圆222)()(:r b y a x C =-+-外一点),(00y x P 作圆C 的两条切线方程，切点分别为B A ,,则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--1．过点C (6，－8)作圆x 2＋y 2＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为( )A ．15B ．1 C.152D ．5九．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即PD PC PT ⋅=2练习1.自动点P 引圆1022=+y x 的两条切线PB PA ,，直线PB PA ,的斜率分别为21,k k 。

（1）若12121-=++k k k k ，求动点P 的轨迹方程；（2）若点P 在直线m y x =+上，且PB PA ⊥，数m 的取值围。