例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。

解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。

证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。

从这道题我们还可以联想到做过的两道题，①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129例4）②当APD经过O1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。

例3. 如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：（1）AC=CE（2）AC2=DB2－BC2分析：（1）易证（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。

证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，∵OA为⊙O1直径∴OC⊥AE在⊙O中OC⊥AE ∴AC=CE（2）在⊙O中，∵DG⊥直径AF ∴DB=GB由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）∵AC=CE ∴AC2＝DB2－BC2本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。

例4. 如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，（1）求证：PA·PE=PC·PD（2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。

分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。

（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。

（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线∴·∴PA PB PD PB PA PD22 ==在⊙O2中由相交弦定理PA PC PB PE PB PA PCPE··∴·==∴·∴··PAPDPA PCPEPA PE PC PD 2==（2）连结AB、CE∵CA切⊙O1于A AB为弦∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E∴∠D=∠E ∴AD ∥CE∴∵PC PA PEPDPC PA PD ====2612∴·×PE PC PD PA ===21264 由相交弦定理：··∴×PB PE PC PAPB ===2643 ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9由切割线定理 AD 2=DB ·DE=9×(9+7) ∴AD=12 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。

例5. 如图，已知：⊙O 与⊙B 相交于点M 、N ，点B 在⊙O 上，NE 为⊙B 的直径，点C 在⊙B 上，CM 交⊙O 于点A ，连结AB 并延长交NC 于点D ，求证：AD ⊥NC 。

分析：要证AD ⊥NC ，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE 为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC ，而∠ECM=∠ENM ，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD ，从而得证。

证明：连结EC∵EN 为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°∵四边形ABNM 内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠ADC=180°－90°=90° ∴AD ⊥NC从证明中可见点B 在⊙O 上这一条件的重要性。

例6. 如图：已知△DEC 中DE=DC ，过DE 作⊙O 1交EC 、DC 于B 、A ，过A 、B 、C 作⊙O 2，过B 作BF ⊥DC 于F ，延长FB 交⊙O 1于G ，连DG 交EC 于H ，（1）求证：BF 过⊙O 2的圆心O 2（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG 的长。

分析：要证BF 过⊙O 2圆心O 2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF 交⊙O 2于M ，连CM ，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB 后可得∠MCA 转移到∠MBA ，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG ，而DH ⊥EC ，于是可证。

（1）证明：延长BF 交⊙O 2于M ，连MC 、AB ∵四边形ABGD 内接于⊙O 1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG ⊥EC 于H ∴∠ADG+∠DCH=90° ∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM 为⊙O 2直径 ∴BF 过⊙O 2的圆心O 2。

（2）解：∵四边形ADEB 内接于⊙O 1 ∴∠CAB=∠E∵DE=DC ∠E=∠DCB∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA ∽△CDE ∴CD EC BC AC ===44856. ∴设CD=5k ，EC=6k∵DH ⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k ，∴k=2 ∴CD=10 在Rt △DHE 中，由勾股定理： DH =-=106822∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH ·HG=EH ·HB ∴·×HG EH HB DH ====2683215.∴DG=8+1.5=9.5【试题】 一、选择题1. 两圆的圆心距为6，两圆半径为方程x x 2540-+=的两根，则两圆（ ） A. 外切 B. 外离 C. 相交 D. 内切2. 两圆半径分别为5和8，若它们共有3条公切线，则圆心距d 为（ ）A. d=3B. 3<d<13C. d=13D. d>133. 半径分别为2、1的两圆相交于A 、B 两点，圆心为O 1、O 2，若O 1H ⊥O 2H ，则公共弦AB 的长为（ ） A.55B.255C.5D.4554. 两圆半径分别为4、1，一条公切线长为4，则两圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 相交或相切5. 半径分别为1和2的两个圆外切，与这两个圆都相切且半径为3的圆共有（ ）个 A. 6B. 5C. 4D. 36. 如图：⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O1的圆心交⊙O1于C、D，若AC∶CD∶DB=3∶4∶2，则⊙O1与⊙O2的的直径之比为（）A. 2∶7B. 2∶5C. 1∶4D. 1∶37. 如图：⊙O'和⊙O外切于点A，外公切线BC与⊙O'、⊙O分别切于B、C，与连心线OO'的延长线交于点P，若∠BPO'=30°，则⊙O'与⊙O的半径比为（）A. 1∶2B. 1∶3C. 2∶3D. 3∶48. 下列各图形中标记的直角符号，是某同学边画图，边推理标注上去的，请你仔细观察图形，认真思考，判断哪个是错误的（）二、填空1. 两圆直径分别为7+t，7－t，圆心距为t，两圆位置关系为__________2. 两圆半径之比为5∶7，外切时圆心距为6，两圆半径为__________3. 三角形三边长为3、4、5，以各顶点为圆心的圆两两外切时，三个圆的半径为__________4. ⊙O1交⊙O2于A、B两点，O2在⊙O1上，O1在⊙O2上，则O1O2∶AB=_________5. ⊙O1、⊙O2连心线与一条内公切线夹角为45°，⊙O1与⊙O2直径分别为8cm，10cm，则内公切线长____________6. ⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，AB交O1O2于G，若AB=48，⊙O1、⊙O2半径分别为30、40，则△AO1O2的面积为____________7. ⊙O1与⊙O2外切于点P，它们半径之比为3∶2，AB为外公切线，A、B为切点，AB=46，则⊙O1与⊙O2的圆心距为____________8. 两圆半径之和为7cm，内公切线长230cm，外公切线长12cm，则两圆半径为___________三、已知：如图：⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB延长线于F。

（1）求证：BC是⊙P的切线（2）若CD=2 CB=22求EF的长（3）若设k=PE∶CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

四、如图：已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O于点D，CD延长线交⊙O1于点N（1）过A作AE∥CN交⊙O1于点E求证：PA=PE（2）连PN 若PB=4，BC=2，求PN的长五、如图：AB为⊙O直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E。