(1)焦点三角形的面积 S＝b2tanα2. (2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c.
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3．特殊的两个双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线．与xa22－by22＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为xa22－by22＝k(k≠0)． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)等轴双曲线方程一般设为 x2－y2＝a2(或 y2－x2＝a2)．
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3．由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母 的大小，双曲线看 x2，y2 系数的符号． 4．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况： 一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线 的对称轴平行．
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主题 1 轨迹问题 一动圆过定点 A(2，0)，且与定圆 x2＋4x＋y2－32＝0
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1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应有 2a>|F1F2|，双曲线 定义||PF1|－|PF2||＝2a 中，应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中， 定点 F 不在定直线 l 上． 2．求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区分焦点在哪个轴上， 选取合适的形式．
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求曲线方程的常用方法及特点 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系， 只需把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹 方程． (2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确 定其中的基本量．
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(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着 另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条 件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示 相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹 方程． (4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形 式，再根据条件确定待定的系数．
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2．在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影 为点 D.当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足P→D＝2M→D，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程．
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解：法一：由P→D＝2M→D，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)． 因为点 P 在圆 x2＋y2＝4 上， 所以 x2＋(2y)2＝4， 所以曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
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4．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p. (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
点的轨迹
零)的点的轨迹
的轨迹
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标准 方程
关系式
椭圆
双曲线
抛物线
xa22＋by22＝1 或ay22 ＋xb22＝1(a>b>0)
xa22－by22＝1 或ay22 －xb22＝1(a>0，
b>0)
y2＝2px 或 y2＝ －2px 或 x2＝2py
或 x2＝－ 2py(p>0)
内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
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【解】 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62， 可知圆心坐标为 B(－2，0)， 半径为 6，如图，设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，
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由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的 距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， 所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(－2，0)和点 A(2，0) 为焦点，线段 AB 的中点 O(0，0)为中心的椭圆． 所以 a＝3，c＝2，b＝ a2－c2＝ 5， 所以所求圆心 M 的轨迹方程为x92＋y52＝1.
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1.已知点 F(0，1)，直线 l：y＝－1，P 为平面 上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且Q→P·Q→F＝ F→P·F→Q.则动点 P 的轨迹 C 的方程为________．
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解析：设 P(x，y)，则 Q(x，－1)． 因为Q→P·Q→F＝F→P·F→Q， 所以(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 即 x2＝4y， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 答案：x2＝4y
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
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椭圆
双曲线
抛物线
无限延展，但有
图形
封闭图形 渐近线 y＝±bax 无限延展，没有
渐近线，有准线
或 y＝±abx
变量 |x|≤a，|y|≤b 或
x≥0 或 x≤0 或
|x|≥a 或|y|≥a
范围 |y|≤a，|x|≤b
y≥0 或 y≤0
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二 圆锥曲线与方程
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1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
平面内与两个定 平面内与两个定点 平面内与一个定
点 F1，F2 的距离 F1，F2 的距离的差 点 F 和一条定直 定义 之和等于常数 的绝对值等于常数 线 l(l 不经过点
(大于|F1F2|)的 (小于|F1F2|且大于 F)距离相等的点
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椭圆
双曲线
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
顶点
四个
两个
离心率
e＝ac， 且 0<e<1
e＝ac，且 e>1
决定形状 e 决定扁平程度 e 决定开口大小
的因素
抛物线 无对称中心 一条对称轴
一个
e＝1
2p 决定开 口大小
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2．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点(不在 x 轴上)，F1， F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2 为焦点三角形(如图)．